¿Hay modelos simples de los postulados de Euclides que violan el teorema de Pascua o el axioma de Pascua?

Question

Mientras leía un papel ( pdf ) sobre la historia de la lógica moderna, aprendí que algunas opiniones (sobre las matemáticas deductivas/axiomáticas) típicamente atribuidas a David Hilbert se remontan a Moritz Pasch. Después de buscar en Google a Moritz Pasch, me sorprendió saber que había encontrado importantes suposiciones implícitas en Euclides que faltaban en los axiomas/postulados. Leí en Wikipedia que ambos Teorema de Pascua y El axioma de Pascua no puede derivarse de los postulados de Euclides.

¿Existen modelos simples similares a la geometría elíptica e hiperbólica para el postulado paralelo que permitan ilustrar este hecho de manera sencilla?

Answer 1

No hay modelos simples. Para violar el axioma de Pasch en una configuración de tipo Hilbert, necesitamos utilizar una solución discontinua de la ecuación funcional de Cauchy $f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Tal solución discontinua requiere (parte de) el axioma de elección.

En ZF con el axioma añadido de que todo conjunto de reales es medible por Lebesgue, el axioma de Pasch es un teorema de una axiomatización de estilo Hilbert que deja fuera el axioma de Pasch.

Observación: La primera construcción de una geometría no paschiana que, por lo demás, satisface el conjunto completo de axiomas de Hilbert se debe a Szmielew. Adler demostró que dicha geometría debe ser del tipo Szmielew.