$2$-adic secuencia convergente a $\sqrt{-7}$.

Question

Estoy tratando de construir una secuencia en la $\mathbb Q_2$ que está formado por los números racionales y converge a $\sqrt{-7}$, para demostrar que $(\mathbb Q, |\cdot|_2)$ no es completa. Mi profesor dijo que este fue un ejemplo fácil, pero estoy recibiendo confundido por mi trabajo. (También he sido introducido a $p$-ádico números, así que no puedo usar Hansel del Lexema, por ejemplo).

Hasta el momento, me dijo que si $\{x_n\}_{n\in \mathbb N} \to \sqrt{-7}$$\{x_n^2\}_{n\in \mathbb N} \to -7$, por lo que debo tener $x_n^2 + 7$ divisible por un gran poder de $2$ grandes $n$. Supongamos que quiero que $2^n|x_n^2+7$ todos los $n.$ me gustaría a continuación, para cada $n$, necesidad de una raíz de $x^2+7$$\mathbb Z/2^n\mathbb Z$. Pero estoy seguro de cómo abordar este tipo de problema, la búsqueda de residuos cuadráticos módulo $p^n$ (aquí se $p=2$) más que en el modulo de los números primos o los productos de los distintos números primos (en el que pueda utilizar el Teorema del Resto Chino).

Agradecería cualquier ayuda con mi prueba o una explicación de cómo encontrar residuos cuadráticos módulo $p^n$, o ambos.

Answer 1

Supongamos que tiene $x_n$ tal que $2^n\mid x_n^2+7$. Si $2^{n+1}\mid x_n^2+7$, puede hacer que $x_{n+1}=x_n$. Si no, entonces $$(x_n+2^{n-1})^2+7=(x_n^2+7)+2^n x_n+ 2^{2n-2}$$ is divisible by $2^{n+1}$ (as long as $n\geq 3$) since $x_n$ must be odd. So in this case, you can define $icadas {n+1} = 2 x_n ^ {n-1}$. By induction, you can thus define a sequence $(x_n)$ such that $2^n\mid x_n^2+7$. Moreover, this sequence is Cauchy with respect to the $2$-adic norm, since by construction $|x_n-x_m|_2\leq 2^{-n+1}$ for $m\geq n$.

Answer 2

Sólo utilizar el Binomio de expansión, para $(1-8)^{1/2}$. Es un hecho, no demasiado terriblemente difícil de demostrar, que la $(1+4t)^{1/2}$ es una serie en la $t$ con todos los coeficientes enteros. Conecte $-2$$t$, voilà.