¿Distribución de probabilidad de funciones de variables aleatorias?

Question

Tengo una duda muy tonta: considerar el % real valorado variables al azar $X$y $Z$ ambos definidos en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$.

Que $Y:= g(X,Z)$, donde $g(\cdot)$ es una función real-valued. $Y$ Es una función de variables aleatorias es una variable aleatoria.

Que $x:=X(\omega)$ es decir, una realización de $X$.

¿Es igual a $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ $\mathbb{P}(g(x,Z))$?

Answer 1

Si $g$ es medible, entonces $$ P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) $$ tiene por $P_X$ -.una. $x$. En particular, si $Z$ es independiente de $X$, luego $$ P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\),\quad\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) $$ tiene por $P_X$ -.una. $x$.

Esto se basa en el siguiente resultado general:

Si $U,T$ $S$ son variables aleatorias y $P_S(\cdot \mid T=t)$ denota una regular la probabilidad condicional de a$S$$T=t$, es decir,$P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$, luego $$ {\rm E}[U\a mediados de T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\a mediados de T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\la etiqueta{*} $$

Prueba: La definición de un regular de la probabilidad condicional se asegura de que $$ {\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt) $$ para medir y integrables $\psi$. Ahora vamos a $\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$ para un conjunto de Borel set $B$. Entonces $$ \begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align} $$ con $$ \varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\a mediados de T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t). $$ Desde $B$ era arbitraria, llegamos a la conclusión de que $\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$.

Ahora, vamos a $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ y el uso de $(*)$ $U=\psi(X,Z)$ donde $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ y $S=Z$, $T=X$. A continuación, tomamos nota de que $$ {\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z) $$ por definición de la esperanza condicional y por lo tanto por $(*)$ hemos $$ \begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align} $$