Sobre la solvencia del % negativo de ecuación de Pell $x^2-2py^2 = -1$

Question

Dado prime $p=8n+1$. Entonces

$$x^2-2py^2 = -1\tag1$$

es que no solucionable ,

$$p_1= 17, 73, 89, 97, 193, 233, 241, 257, 281, 337, 353, 401, 433, 449, 577, 593,601, 617, 641,\dots$$

pero es solucionable ,

$$p_2= 41, 113, 137, 313, 409, 457, 521, 569, 761, 809, 857, 953, 1129, 1201, 1321, 1601,\dots$$

Comparar a la de los números primos de la forma $p=u^2+32v^2$ (A105389):

$$p_3 = 41, 113, 137, \color{brown}{257}, 313, \color{brown}{337}, \color{brown}{353}, 409, 457, 521, 569, \color{brown}{577}, \color{brown}{593}, 761, 809, 857, \color{brown}{881}, 953, \dots$$

(También, $p_3$ tiene clase número $h(-p)$ divisible por 8.)

P: Es $p_2$ un subconjunto de a $p_3$?

(Lo que es equivalente, para $p=8n+1$, es cierto que una condición necesaria pero no suficiente tal que $(1)$ es solucionable, es que $p = u^2+32v^2$?)

He comprobado que todos solucionable $p = 8n+1 \leq 18089$ tiene la forma $u^2+32v^2$, pero no sé si todo solucionable $p$ tienen esa forma.

$\color{blue}{Edit}$: (En respuesta a Jagy la respuesta.) Los números primos de la forma $p=u^2+64v^2$ (A014754),

$$p_4 = 73, 89, 113, 233, 257, 281, 337, 353, 577, 593, 601, 617, 881, 937, 1033, 1049, 1097\dots$$

pero ni $p_1$ ni $p_2$ es un subconjunto de a $p_4$. Sin embargo, los números primos de la forma $p=u^2+64v^2=16n+9$,

$$p_5 = 73, 89, 233, 281, 601, 617, 937, 1033, 1049, 1097,\dots$$

como resultado de Dirichlet, es irresoluble por lo que es un subconjunto de a $p_1$.

Answer 1

por lo menos una salida: para $p \equiv 1 \pmod 8,$ hay una tricotomía debido a Dirichlet, páginas 164-165 de Buell: exactamente uno de $$ A: \; 2 x^2 - p y^2 = 1, $$ $$ B: \; 2 x^2 - p y^2 = -1, $$ $$ C: \;2 x^2 - p y^2 = -2, $$ tiene solución en los números enteros. Su $(1)$ es la tercera opción $C$ $y$ entonces incluso. Me temo que este material se relaciona más claramente a $p = u^2 + 64 v^2,$ ya que los resultados son

Si es solucionable, entonces C no es solucionable y $p \equiv 1 \pmod {16}.$

Si B tiene solución, entonces C no es solucionable y $p = u^2 + 64 v^2$

Si $p \equiv 9 \pmod {16}$ $2$ no es un cuarto poder, entonces C es solucionable. Nota: $p \neq u^2 + 64 v^2$

Estos son los números primos $9 \pmod {16}$ representado por $4 u^2 + 4uv + 17 v^2,$

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./primego
Input three coefficients a b c for positive f(x,y)= a x^2 + b x y + c y^2 
4 4 17
Discriminant  -256

Modulus for arithmetic progressions? 
16
Maximum number represented?         1700
          p          mod 16
          17           1
          41           9
          97           1
         137           9
         193           1
         241           1
         313           9
         401           1
         409           9
         433           1
         449           1
         457           9
         521           9
         569           9
         641           1
         673           1
         761           9
         769           1
         809           9
         857           9
         929           1
         953           9
         977           1
        1009           1
        1129           9
        1297           1
        1321           9
        1361           1
        1409           1
        1489           1
        1657           9
        1697           1
........................

Un poco más: podemos escribir $p = u^2 + 32 v^2$ si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 8$ y se distinguen cuatro raíces $$ z^4 - 2 z^2 + 2 \equiv 0 \pmod p. $$ Podemos escribir $p = u^2 + 64 v^2$ si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 8$ y se distinguen cuatro raíces $$ z^4 - 2 \equiv 0 \pmod p. $$ Esta es de la mesa final, en Liu y Williams, acerca de 1994.