Polinomios mínimos y subespacios invariantes.

Question

Dejemos que $T$ sea un operador lineal en el $n$ espacio vectorial dimensional $\mathbb{V}$ . Supongamos que $\mathbb{V} = \sum_{i=1}^{k}W_i$ donde cada $W_i$ es $T$ - invariante. Sea $\mu_{T_i}$ sea el polinomio mínimo del operador restringido a $W_i$ . Si los polinomios mínimos de todas las restricciones son coprimos, es decir, si $\gcd(\mu_{T_i}, \mu_{T_j}) = 1$ para $i\neq j$ ¿es cierto que los subespacios $W_i$ son independientes? Así es, $\mathbb{V} = \bigoplus_{i=1}^k W_i$ . En términos más generales, ¿es cierto que si los polinomios mínimos de dos subespacios son coprimos, entonces los dos subespacios son independientes?

Se ve fácilmente que lo contrario es falso, el operador de identidad es un claro contraejemplo. Sin embargo, no he podido encontrar un contraejemplo fácil a la afirmación anterior. Se agradecería una prueba o un contraejemplo.

Answer 1

Sí, es cierto. Aquí hay un esbozo de una prueba por contraposición.

Si $W:=W_j\cap \sum\limits_{i\neq j}W_i\neq\{0\}$ para algunos $j$ alors $W$ es un subespacio invariante no nulo para $T$ . El polinomio mínimo $p$ de la restricción de $T$ a $W$ debe dividir ambos $\mu_{T_j}$ y el polinomio mínimo $q$ de $T$ restringido a $\sum\limits_{i\neq j}W_i$ . Pero $q$ divide $\prod\limits_{i\neq j}\mu_{T_I}$ y esto implica que cada factor irreducible de $p$ debe dividir ambos $\mu_{T_j}$ y $\mu_{T_i}$ para algunos $i\neq j$ . Por lo tanto, $\gcd(\mu_{T_i}, \mu_{T_j}) \neq 1$ .

Answer 2

Aquí hay una variación de la prueba de Jonas.

Dejemos que $\mu$ sea el producto de la $\mu_{T_i}$ que denotaré $\mu_i$ y que $K$ sea el campo de tierra.

Desde $\mu(T)=0$ el anillo $K[T]$ es un cociente de $A:=K[X]/(\mu)$ y $\mathbb{V}$ es un $A$ -módulo.

Por el Teorema del Resto Chino, $A$ es isomorfo al producto de los $A_i:=K[X]/(\mu_i)$ .

El elemento $e_i$ de $A$ cuyo $j$ -el componente número uno es $\delta_{ij}$ actúa por la identidad en $W_i$ y por $0$ en $W_j$ para $j\neq i$ .

Para $i=1,\dots,k$ , dejemos que $w_i$ estar en $W_i$ y asumir $\sum w_i=0$ .

Aplicando $e_j$ a la igualdad anterior, obtenemos $w_j=0$ .

Answer 3

Aquí hay una variante más. Debido a la primalidad relativa, $\mu_i[T]$ actúa de forma invertida en cada subespacio $W_j$ con $j\neq i$ : si $r,s\in K[T]$ son los coeficientes de Bezout para $\mu_i,\mu_j$ En otras palabras $r\mu_i+s\mu_j=1$ y luego se restringe a $~W_j$ el operador $r[T]\mu_i[T]$ actúa como la identidad. Este es el tipo de situación que da fácilmente la direccionalidad de la suma de los subespacios $W_i$ : dada una hipotética relación no trivial $0=w_1+\cdots+w_k$ con $w_i\in W_i$ para todos $~i$ , tome uno para el que un número mínimo de no cero vectores entre los $w_i$ (pero, por supuesto, al menos uno; de hecho, ahora debe haber claramente al menos dos no nulos entre ellos); con $w_i\neq0$ , solicitarlo $\mu_i[T]$ a la relación para encontrar una nueva relación con exactamente un vector menos distinto de cero, contradiciendo la minimidad.