Encontrar la intersección de dos líneas 3D

Question

Tengo dos líneas de $(5,5,4) (10,10,6)$ $(5,5,5) (10,10,3)$ con el mismo $x$, $y$ y la diferencia en $z$ valores.

Por favor alguien que me diga cómo puedo encontrar la intersección de estas líneas.

EDIT: Por el uso de la respuesta dada por coffemath yo sería capaz de encontrar el punto de intersección de los anteriores puntos. Pero me estoy volviendo un problema para $(6,8,4) (12,15,4)$$(6,8,2) (12,15,6)$. Yo soy incapaz de calcular el punto en común de estos puntos como la que resulta en Cero. Alguna idea para solucionar esto?

Gracias, Kumar.

Answer 1

Hay al menos dos maneras de abordar este tipo de problemas, a través de vectores como tal y a través de coordenadas. Algunos problemas son más fáciles de una manera, y esto es definitivamente más fácil a través de coordenadas. Varias de estas soluciones se han dado. Pero el más maneras que usted puede resolver un problema, la mejor es probable que entender la matemática subyacente. Así que voy a compartir un método vector.

Podemos llegar a la solución sin el uso de coordenadas, excepto como una cuestión de cálculo de la respuesta final. Vamos a suponer también que la línea está dada por un punto y un (distinto de cero) vector de dirección (en cualquier dirección). En los ejemplos dados, las líneas están definidas por dos puntos, pero un vector de dirección puede ser obtenida por la toma de la diferencia en las coordenadas de los dos puntos dados.

Aquí es el de la construcción. Salimos de la prueba como un ejercicio, de manera que el lector interesado puede beneficiarse de trabajo (sugerencia: la Ley de los Senos es útil).

Vamos $\alpha$, $\beta$ ser las líneas dadas.

Vamos $C$, $D$ ser los puntos en $\alpha$, $\beta$, resp. Si $C$ $\beta$ o $D$$\alpha$, hemos encontrado que el punto de intersección. Así que vamos a suponer que no lo son.

Deje ${\bf e}$ ${\bf f}$ ser vectores de dirección de $\alpha$, $\beta$, resp. Deje ${\bf g} = \vec{CD}$.

Vamos $h = ||{\bf f} \times {\bf g}||$, $k=||{\bf f} \times {\bf e}||$. Si bien es $0$, entonces no hay ninguna intersección; de lo contrario, que sean diferentes de cero y continuar.

Deje ${\bf l} = {h \over k} {\bf e}$. Entonces uno de $M = C \pm {\bf l}$ es el punto de intersección (o dependiendo de la notación prefiere, $\vec{OM} = \vec{OC} \pm {\bf m}$), donde el signo puede ser determinado de la siguiente manera: Si ${\bf f} \times {\bf g}$ ${\bf f} \times {\bf e}$ apuntan en la misma dirección, entonces el signo es $+$; de lo contrario, el signo es $-$.

Uno puede componer todos los pasos para obtener una fórmula: $$M = C \pm {||{\bf f} \times {\vec{CD}}|| \over ||{\bf f} \times {\bf e}||}\,{\bf e}\,.$$

Si desea comprobar, podemos, en el segundo ejemplo, tomar $C = (6,8,4)$, $D = (6,8,2)$ y ${\bf e} = (6,7,0)$${\bf f} = (6,7,4)$. Por lo tanto,${\bf g} = \vec{CD} = (0,0,-2)$.

Por lo ${\bf f} \times {\bf g} = (-14, 12,0)$${\bf f} \times {\bf e} = (-28, 24, 0)$, que apuntan en la misma dirección; así que nos tomamos el $+$ signo.

Por lo tanto, el punto de intersección es $C + {1\over2}{\bf e} = (9,{23\over2},4)$.

Answer 2

La dirección de los números de $(a,b,c)$ para una línea en el espacio pueden ser obtenidos a partir de dos puntos en la línea restando correspondientes coordenadas. Tenga en cuenta que $(a,b,c)$ puede ser cambiado mediante la multiplicación a través de cualquier valor distinto de cero constante.

La primera línea tiene la dirección números de $(5,5,2)$, mientras que la segunda línea tiene dirección, números de $(5,5,-2).$ una Vez que uno ha sentido los números de $(a,b,c)$, se puede utilizar cualquiera de punto dado de la línea para obtener el simétrico en forma de ecuación como $$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$$ Note that if one or two of $a,b,c$ are $0$ la ecuación para que la variable se obtiene mediante el ajuste de la parte superior a cero. Que no ocurre en su caso.

Usando el punto de $(5,5,4)$ de la primera línea le da su simétrica de la ecuación como $$\frac{x-5}{5}=\frac{y-5}{5}=\frac{z-4}{2}.$$ Y usando el punto de $(5,5,5)$ de la segunda línea le da su forma simétrica $$\frac{x-5}{5}=\frac{y-5}{5}=\frac{z-5}{-2}.$$ Ahora bien, si el punto de $(x,y,z)$ es en ambas líneas, la ecuación $$\frac{z-4}{2}=\frac{z-5}{-2}$$ da $z=9/2$, por lo que el valor común de las fracciones es $(9/2-4)/2=1/4$. Este valor se utiliza para buscar $x$$y$. En este ejemplo, las ecuaciones son ambos de la misma forma $(t-5)/5=1/4$ con solución de $t=25/4$. Así que podemos concluir que el punto de intersección es $$(25/4,\ 25/4,\ 9/2).$$

AÑADIDO CASO: El OP ha preguntado acerca de otro caso que ilustra lo que sucede cuando uno de la dirección de los números de una de las dos líneas es $0$.

Línea 1: puntos de $(6,8,4),\ (12,15,4);$ direcciones $(6,7,0)$ "ecuación" $$\frac{x-6}{6}=\frac{y-8}{7}=\frac{z-4}{0},$$ donde puedo poner la ecuación en comillas porque de la división por cero, y como se señaló en el cero el denominador de la última fracción de medios de $z=4$ (por lo $z$ es constante en la línea 1).

Línea 2: puntos de $(6,8,2),\ (12,15,6);$ direcciones $(6,7,4)$, la ecuación $$\frac{x-6}{6}=\frac{y-8}{8}=\frac{z-2}{4}.$$ Ahora ya sabemos $z=4$ de la línea 1 de la ecuación, podemos usar $z=4$ $(z-2)/4$ de la línea 2 de la ecuación, para obtener el común de la fracción de valor de $(4-2)/4=1/2$. Luego de línea, $(x-6)/6=1/2$$x=9$, e $(y-8)/7=1/2$ $y=23/2.$ por Lo que para estas líneas, el punto de intersección es $(9,\ 23/2,\ 4).$

Cabe señalar que dos rectas en el espacio, generalmente, no se cruzan, que puede ser paralelo o "inclinación". Esto vendría a cabo como algunos contradictorios valores en el anterior procedimiento mecánico.

Answer 3

$$ \begin{align} \color{#C00000}{((10,10,6)-(5,5,4))}\times\color{#00A000}{((10,10,3)-(5,5,5))} &=\color{#C00000}{(5,5,2)}\times\color{#00A000}{(5,5,-2)}\\ &=\color{#0000FF}{(-20,20,0)} \end{align} $$ es perpendicular a ambas líneas; por lo tanto, $\color{#0000FF}{(-20,20,0)}\cdot u$ es constante a lo largo de cada línea. Si esta constante no es la misma para cada línea, las líneas no se cruzan. En este caso, la constante para cada línea es $0$, por lo que las líneas se cruzan. $$ \color{#C00000}{(5,5,2)}\times\color{#0000FF}{(-20,20,0)}=\color{#E06800}{(-40,-40,200)} $$ es perpendicular a la primera línea; por lo tanto, $\color{#E06800}{(-40,-40,200)}\cdot u$ es constante a lo largo de la primera línea. En este caso, que la constante es $400$. El punto general a lo largo de la segunda línea es $$ \color{#00A000}{(5,5,5)}+\color{#00A000}{(5,5,-2)}t $$ Para calcular el punto de intersección, encontrar el$t$, de modo que $$ \color{#E06800}{(-40,-40,200)}\cdot(\color{#00A000}{(5,5,5)}+\color{#00A000}{(5,5,-2)}t)=400\\ 600-800t=400\\ t=1/4 $$ Conectar $t=1/4$ en la fórmula de un punto a lo largo de la segunda línea, se obtiene el punto de intersección: $$ \color{#00A000}{(5,5,5)}+\color{#00A000}{(5,5,-2)}\cdot1/4=\left(\frac{25}{4},\frac{25}{4},\frac{9}{2}\right) $$

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El segundo ejemplo $$ \begin{align} \color{#C00000}{((12,15,4)-(6,8,4))}\times\color{#00A000}{((12,15,6)-(6,8,2))} &=\color{#C00000}{(6,7,0)}\times\color{#00A000}{(6,7,4)}\\ &=\color{#0000FF}{(28,-24,0)} \end{align} $$ es perpendicular a ambas líneas; por lo tanto, $\color{#0000FF}{(28,-24,0)}\cdot u$ es constante a lo largo de cada línea. Si esta constante no es la misma para cada línea, las líneas no se cruzan. En este caso, la constante para cada línea es $-24$, por lo que las líneas se cruzan. $$ \color{#C00000}{(6,7,0)}\times\color{#0000FF}{(28,-24,0)}=\color{#E06800}{(0,0,-340)} $$ es perpendicular a la primera línea; por lo tanto, $\color{#E06800}{(0,0,-340)}\cdot u$ es constante a lo largo de la primera línea. En este caso, que la constante es $-1360$. El punto general a lo largo de la segunda línea es $$ \color{#00A000}{(6,8,2)}+\color{#00A000}{(6,7,4)}t $$ Para calcular el punto de intersección, encontrar el$t$, de modo que $$ \color{#E06800}{(0,0,-340)}\cdot(\color{#00A000}{(6,8,2)}+\color{#00A000}{(6,7,4)}t)=-1360\\ -680-1360t=-1360\\ t=1/2 $$ Conectar $t=1/2$ en la fórmula de un punto a lo largo de la segunda línea, se obtiene el punto de intersección: $$ \color{#00A000}{(6,8,2)}+\color{#00A000}{(6,7,4)}\cdot1/2=\left(9,\frac{23}{2},4\right) $$

Answer 4

Las dos líneas pueden ser representadas como $(5,5,4)+s[(10,10,6)-(5,5,4)]$ y $(5,5,5)+t[(10,10,3)-(5,5,5)]$. Para encontrar la intersección significa encontrar $s$ y $t$ tal que son iguales.