$H\leq Z(G)$ para un Subgrupo normal $H\leq G$ Dummit Foote 4.4.12,13,14

Question

El título es Más General (que puede no ser cierto)

Pero la Pregunta es :

Deje $G$ ser un Grupo de orden $3825$. Probar que si $H\unlhd G$$|H|=17$$H\leq Z(G)$.

lo que he hecho hasta ahora es $3825=17\times 3^2\times 5^2$.

Como $H\unlhd G$ vemos que $N_G(H)=G$ y por un resultado que indica

$N_G(H)/C_G(H)\text {is isomorphic to a subgroup of }Aut(H)$

vemos que $G/C_G(H)$ es isomorfo a un subgrupo de $Aut(H)$.

Como $H$ es de primer orden es cíclico,, $|Aut(H)|=16$

Como $C_G(H)$ es un subgrupo de $G$, $|C_G(H)|$ divide $|G|$ y con la condición de $|G/C_G(H)|$ divide $16$,

es decir, algún factor de $16$ divide $|G/C_G(H)|$$(16,3825)=1$$C_G(H)=G$, por lo que concluyo $H\leq Z(G)$

Por favor, hágamelo saber si mi enfoque puede ser reducido a un enfoque más sencillo.

y me gustaría buscar una generalización de este :

Si $G$ tiene un Grupo Normal de primer orden $p$ y ningún factor de $|G|$ divide $p-1$$H\leq Z(G)$.

Me gustaría ver si esto es correcto? Creo que es correcta, Pero Sólo para una aclaración.

por favor me ayudan con esto.

Gracias

Answer 1

Prueba: Vamos a $H=\langle a | a^p=1\rangle$, $x\in G, |x|=m, x^{-1}ax=a^r$ para algunos $r$. A continuación,$x^{-p+1}ax^{p-1}=a^{r^{p-1}}=a$, ya que el $r^{p-1}\equiv 1 (\mod p)$. Además, mcd$(m,p-1)=1$, es decir, $\alpha m +\beta (p-1)=1$ algunos $\alpha,\beta$. A continuación,$[x,a]=[x^{\beta (p-1)},a]=1$. Por lo $a\in Z(G)$.