P: Encontrar todas las funciones que son analíticas y de satisfacer $(\operatorname{Re}(f(z)))^2 = \operatorname{Im}(f(z))$

Question

He estado tratando de encontrar todas las funciones $f(z):\Bbb{C}\longrightarrow\Bbb{C}$ que son analíticas y de satisfacer

$$(\operatorname{Re}(f(z)))^2 = \operatorname{Im}(f(z))$$

Después de conectar $f(z)=x+iy$, conseguí $f(z)=x+ix^2$.

Este tipo de funciones nunca satisfacer de Cauchy-Riemann ecuaciones, ya que $\mathcal u_x=1 \neq 0=v_y$.

Se desprende de esta argumentación de que no analíticos $f(z)$ existe?

Answer 1

Usted podría han echado de su análisis un poco. La condición de la que han dado es equivalente a decir que $$ f(x+ iy) = u(x,y) + i u(x,y)^2$$ El cómputo de la de Cauchy-Riemann ecuaciones tenemos $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 2u\frac{\partial u}{\partial y}$$ y $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -2u\frac{\partial u}{\partial x}$$ La combinación de estos dos hemos $$\frac{\partial u}{\partial x} = - 4 u^2 \frac{\partial u}{\partial x} \iff \frac{\partial u}{\partial x} \left(1 + 4u^2\right) = 0$$ Desde $1 + 4u^2 > 0$ todos los $u \in \mathbb{R}$ debemos tener $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$. De manera similar, también podemos calcular $$ \frac{\partial u}{\partial y} = - 4u^2 \frac{\partial u}{\partial y} \iff\frac{\partial u}{\partial y} \left(1 + 4u^2\right) = 0 $$ A partir de la cual se puede concluir que la $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$. Por lo $u(x,y)$ debe ser una función constante. Ya que no especifica ningún valor específico de la función constante $u(x,y)$, entonces se sigue que funciona para todos los valores. Por lo tanto funciona con una constante real en el que se satisfacen las hipótesis que se han dado son todas las soluciones.

Answer 2

Otro tipo de solución: tenga en cuenta que ${\rm Im}(f(z))\geq 0$ todos los $z$. Por lo tanto, si ponemos $g(z)=\exp(if(z))$, $|g(z)|=\exp(-{\rm Im}(f(z))\leq 1$ todos los $z$. Por el teorema de Liouville, $g$ es constante, y $f$ es también una constante, de la forma $c+ic^2$, $c\in \mathbb{R}$.

Answer 3

Si como es habitual, se establece

$z = x + iy \tag{1}$

y

$f(z) = u(x, y) + iv(x, y), \tag{2}$

a continuación, la condición

$(\operatorname{Re}(f(z)))^2 = \operatorname{Im}(f(z)) \tag{3}$

puede ser escrito

$v = u^2;\tag{4}$

por lo tanto $f(z)$ se convierte en

$f(z) = u(x, y) + iu^2(x, y). \tag{5}$

Desde $f(z)$ es holomorphic, $u(x, y)$ $v(x, y) = u^2(x, y)$ son armónica; es decir,

$\nabla^2u = 0 \tag{6}$

y

$\nabla^2 u^2 = 0. \tag{7}$

Calculamos el $\nabla^2u^2$; hemos

$\nabla^2 u^2 = \nabla \cdot \nabla u^2$ $= \nabla \cdot (2u \nabla u) = 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u \nabla^2u$ $= 2 \vert \nabla u \vert^2, \tag{8}$

utilizando (6); en derivados (8), también hemos utilizado el estándar de la identidad

$\nabla \cdot (gX) = \nabla g \cdot X + g \nabla \cdot X, \tag{9}$

la celebración de differeniable funciones escalares $g$ y campos vectoriales $X$; para más información, ver https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities. Se sigue de (7) y (8) que

$\vert \nabla u \vert^2 = 0, \tag{10}$

o

$\vert \nabla u \vert = 0, \tag{11}$

o

$\nabla u = 0; \tag{12}$

llegamos a la conclusión de que $u(x, y)$ debe ser una constante real $c$; esto nos indica que $v(x, y) = c^2$ y, finalmente, $f(z)$ es un complejo constante de la forma

$f(z) = c + ic^2, \tag{13}$

donde $c \in \Bbb R$.

Nota Bene: La técnica utilizada anteriormente, a saber. mostrando que $\nabla u = 0$, puede ser aplicado a otras preguntas similares; véase, por ejemplo, la

Relacionados Con El Problema:

Podemos concluir que el $u^{-1}+iu$ es constante?