Paley-Weiner y teorema de la transformada de Fourier de una no-analíticos de función suave

Question

Muchos de Paley-Weiner teoremas son variaciones sobre el tema "el más rápido a una función $f(x)$ cae como $x \rightarrow \infty$, la más suave de su transformada de Fourier $\tilde{f}(k)$$k \rightarrow 0$." En particular, sabemos que si $f(x)$ decae de forma exponencial en un gran $x$ $\tilde{f}(k)$ es analítica, y si $f(x) = 1/x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ ), a continuación,$\tilde{f}(k) \propto k^{n-1} \mathrm{sgn}( k)$. Pero me pregunto acerca de la (inverso) FT de $\tilde{f}(k) = 1 - e^{-1/k^2}$. Esta función es suave y se cae como $1/k^2$ gran $k$, por lo que su inversa FT $f(x)$ debe existir y no ser demasiado patológico. Se debe caer más rápido que cualquier ley de potencia en un gran $x$ o algún otro finito derivado de la $\tilde{f}(k)$ sería discontinua, sino $\tilde{f}(k)$ es suave. Pero no se puede caer tan rápido como una exponencial, o de lo $\tilde{f}(k)$ sería analítica, que no lo es. Por lo que su gran$x$ difuminación debe estar en algún lugar entre la ley de potencia y exponencial. Pero, ¿qué es? No tengo idea de cómo evaluar la transformada de Fourier debido a la singularidad esencial en a $k = 0$.

Edit: pregunta de Seguimiento: Es cierto que cualquier función suave que cae más rápido que cualquier ley de potencia, pero más lento que cualquier exponencial tiene un no-analítica suave PIES?

Answer 1

He encontrado un documento que utiliza la silla de montar de punto de aproximación para derivar la forma asintótica de un gran $k$ de la transformada de Fourier de otro no-analíticos de función suave: http://arxiv.org/abs/1508.04376. Cae como $k^{-3/4} e^{-\sqrt{k}}$ - de hecho más rápido que cualquier ley de potencia, pero más lento que cualquier exponencial, como yo esperaba.

Si hacemos uso de su método para calcular la $f(x) = \int_{-\infty}^\infty dk\, e^{i k x - 1/k^2} = 2\, \text{Re} \left[ \int_0^\infty dk\, e^{i k x - 1/k^2} \right]$, obtenemos que el punto de silla es $k_0 = \left( \frac{2 i}{x} \right)^{1/3}$. Taylor ampliar el exponente sobre el punto de silla, $$ i k x - \frac{1}{k^2} = i k_0 x - \frac{1}{k_0^2} + \frac{1}{2}\left( -\frac{6}{k_0^4} \right) (k - k_0)^2 + o \left( (k-k_0)^3 \right).$$ Para un gran $x$, la integral oscila violentamente y en su mayoría interfiere destructivamente a menos $k \ll 1$, y en este régimen también vemos que $k_0 \ll 1$, por lo que el mayor de los términos en la expansión son insignificantes para un gran $x$, y $$ f(x) \sim 2\, \text{Re} \left[ \exp \left( i k_0 x - \frac{1}{k_0^2} \right) \int_0^\infty dk\, \exp \left(-\frac{3}{k_0^4}(k - k_0)^2 \right) \right].$$ Ahora tenemos que deforman el contorno de modo que se ejecuta a través del punto de silla de $k_0 = (2/x)^{1/3} i^{1/3}$, por lo que hacemos el cambio de variable $k = u\, i^{1/3},\ dk = du\, i^{1/3}$, la cual gira el contorno por $-\pi/6$ en el plano complejo: $$ f(x) \sim 2\, \text{Re} \left[ \exp \left( i k_0 x - \frac{1}{k_0^2} \right) \int_0^{i^{-1/3} \infty} du\, i^{1/3} \exp \left[ -\frac{3}{k_0^4} i^{2/3} \left( u - \left( \frac{2}{x} \right)^{1/3} \right)^2 \right] \right].$$ El único polo en el origen, por lo que podemos deformar el contorno de nuevo en el real positiva de la línea sin afectar a la integral. Para un gran $x$, la integral de $-\infty$ $0$es insignificante por lo que podemos ampliar el alcance de la integración sobre toda la recta real. (Uno podría haber esperado que desde el Gaussiana se alcanzó un máximo de cerca de cero, la integral sobre la negativa ray contribuyen por igual a la integral sobre el positivo de rayos entonces necesitaríamos un factor de 1/2 a compensar; ver el artículo de por qué este no es el caso.) Desde $\text{Re}\left( 3 i^{2/3}/k_0^4 \right) = \text{Re}\left( (2/x)^{1/3} e^{-i \pi/3} \right) = (4x)^{-1/3} > 0$, podemos utilizar la integral de Gauss identidad $\int_{-\infty}^\infty dk\, e^{-a k^2} = \sqrt{\pi/a}$ para obtener $$f(x) \sim 2\, \text{Re} \left[ \exp \left( i k_0 x - \frac{1}{k_0^2} \right) i^{1/3} \sqrt{\frac{\pi k_0^4}{3 i^{2/3}}} \right] = 2 \sqrt{\frac{\pi}{3}} \text{Re} \left[ k_0^2 \exp \left( i k_0 x - \frac{1}{k_0^2} \right) \right].$$ Conectar $k_0 = \left( \frac{2 i}{x} \right)^{1/3}$, finalmente, después de algunos álgebra $$f(x) \sim 2^{5/2} \sqrt{\frac{\pi}{3}} x^{-2/3} \exp \left( -\frac{3}{2^{5/3}} x^{2/3} \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} + \frac{3 \sqrt{3}}{2^{5/3}} x^{2/3} \right).$$ En efecto, nos encontramos con que la transformada de Fourier se cae más rápido que cualquier ley de potencia, pero más lento que cualquier exponencial. Pero no estoy seguro de cómo demostrar este resultado para una arbitraria nonanalytic función suave.