Cómo probar esta desigualdad $(\sum_{k=1}^{3n}a_{k})^3\ge 27n^2\sum_{k=1}^{n}a_{k}a_{n+k}a_{2n+k}$

Question

deje $$0\le a_{1}\le a_{2}\le \cdots\le a_{3n}$$ mostrar que $$\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{3n-1}+a_{3n}\right)^3\ge 27n^2\sum_{k=1}^{n}a_{k}a_{n+k}a_{2n+k}$$

sabemos que cuando se $n=1$，esto es $$(a+b+c)^3\ge 27abc$$ este es AM-GM de la desigualdad. debido a $$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$$ $$\Longrightarrow (a+b+c)^3\ge 27abc$$

al $n=2$, luego tenemos $$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{6})^3\ge 108(a_{1}a_{3}a_{5}+a_{2}a_{4}a_{6})$$ esta desigualdad tal vez puede usar AM-GM de la desigualdad para resolverlo.y Para general ¿Cómo demostrarlo? Gracias

Answer 1

SUGERENCIA

Grupo en 3 términos. Así

$$ (a_1+a_2+\cdots+a_{3n})^3 >= (a_1+a_{n+1}+a_{2n+1})^3+\cdots+(a_n+a_{2n}+a_{3n})^3 $$

A continuación, utilice AM-GM para RHS términos. Está usted seguro de que el lado derecho es $27n^2$ e no $27n$ ?