$A$ es algunos fijos de la matriz. Deje $U(B)=AB-BA$. Si $A$ es diagonalizable, entonces también lo es $U$?

Question

Esta es la de Hoffman y Kunze 6.4.13. Estoy estudiando para un examen y tratando de resolver algunos problemas en Hoffman y Kunze.

Aquí está la pregunta. Deje $V$ ser el espacio de $n\times n$ matrices sobre un campo $F$. Deje $A$ ser un fijo de la matriz en $V$. Deje $T$ $U$ ser lineal operadores en $V$ definido por

$T(B)=AB$ $U(B)=AB-BA$.

a) (Verdadero o Falso) Si $A$ es diagonalizable, a continuación, $T$ es diagonalizable. Esto es cierto. Puedo mostrar que ambos a y T tienen el mismo polinomio mínimo. Así que si $A$ es diagonalizable, entonces el polinomio mínimo de a $T$ debe ser un producto de distintos factores lineales. Demostrando que $T$ es diagonalizable. pero la siguiente pregunta estoy teniendo problemas con el.

b)(Verdadero o falso) Si $A$ es diagonalizable, a continuación, $U$ es diagonlizable. Estoy pensando que esto es falso. Pero no puedo pensar de un contra ejemplo. Puede ser que estoy equivocado.

¿Alguien puede ayudar?. Gracias por toda su ayuda.

Answer 1

(a) Verdadero. De hecho, $p(T)B=p(A)B$ por cada polinomio en $K[X]$ donde $p(T)=0$ si y sólo si $p(A)=0$. Por la mínima polinomio caracterización de diagonalizability en dimensión finita (divisiones sencillas con raíces), se deduce que el $T$ es diagonalizable si y sólo $A$ es diagonalizable.

(b) Verdadero. Si $A=P^{-1}DP$ es diagonalizable, entonces $U$ es similar a $V(B)=DB-BD$ $D=\mbox{diag}(d_1,\ldots,d_n)$ diagonal. Precisamente, $U=S\circ V\circ S^{-1}$$S(B)=P^{-1}BP$.

A continuación, denotando $E_{ij}$ de la base canónica de $M_n(K)$, nos encontramos con $$V(E_{ij})=DE_{ij}-E_{ij}D=(d_i-d_j)E_{ij}.$$ De dónde $V$ es la diagonal en la base canónica, y $U$ es por lo tanto diagonalizable.

Answer 2

Diagonalise $A$$PDP^{-1}$. A continuación, la matriz de $U$ w.r.t. la base canónica de $M_n(F)$$I\otimes A - A^T\otimes I$. Por lo tanto $$ (P^T \otimes P^{-1}) (I\otimes a - a^T\otimes I) (P^{-T} \otimes P) = I\otimes D - D\otimes yo $$ es diagonal, es decir, $U$ es diagonalisable.

Esta respuesta, por supuesto, requiere un conocimiento de producto de Kronecker. Como tu pregunta viene de una Hoffman y Kunze ejercicio, no se espera que utilice el producto de Kronecker, pero para resolver la cuestión en un algebraicas lineales. Sin embargo, creo que este ejercicio es un perfecto ejemplo de que a veces una matriz teórica de la solución puede ser mucho más limpio que un algebraicas lineales.