Dados dos procesos de Martingala $(X_t)$ y $(Y_t)$ son su suma $(X_t+Y_t)$ y su producto $(X_t \times Y_t)$ ¿también Martingale?
Si no, ¿los dos $(X_t)$ y $(Y_t)$ siendo independientes conceden su suma y producto Martingale? Gracias.
Respuestas
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El producto de dos martingalas independientes es una martingala, o más bien lo es o no lo es, dependiendo de la formulación precisa de la hipótesis. Cuando lo es, se dice que las martingalas son ortogonal . Esto se explica, por ejemplo, por Alexander Cherny en el capítulo Algunos problemas particulares de la teoría de la martingala de la Homenaje a Shiryaev .
Y sí, la suma de dos martingalas independientes es una martingala, pero, de nuevo, sería conveniente exponer el resultado con cierto cuidado y, en primer lugar, como menciona steveO en un comentario, especificar la(s) filtración(es) que se está considerando.
La versión trivial es que si $X$ y $Y$ son dos martingalas (independientes o no) con respecto a una determinada filtración $\mathcal{G}$ , entonces la suma $X+Y$ también es una martingala con respecto a $\mathcal{G}$ . Pero ¿qué ocurre si se asume que $X$ es una martingala con respecto a su propia filtración $\mathcal{F}^X$ y que $Y$ es una martingala con respecto a su propia filtración $\mathcal{F}^Y$ ?
(Recordemos que la filtración $\mathcal{F}^Z$ de un proceso $Z$ se define por $\mathcal{F}^Z_n=\sigma(\{Z_k;k\le n\})$ por cada $n$ .)
Entonces, si $X$ y $Y$ son independientes , $X+Y$ es una martingala con respecto a su propia filtración $\mathcal{F}^{X+Y}$ pero, en primer lugar, la prueba, aunque no es terriblemente difícil, requiere ser cuidadoso (y utiliza algo más que la linealidad de las expectativas condicionales), y, en segundo lugar, para martingalas no independientes, esto se vuelve terriblemente erróneo.
Para hacernos una idea del problema, consideremos una variable aleatoria integrable dada $\xi$ y dos $\sigma$ -algebras $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ y tratar de encontrar condiciones que garanticen que $E(\xi|\mathcal{A}\vee\mathcal{B})=E(\xi|\mathcal{A})$ . Es $\xi$ independiente de $\mathcal{B}$ ¿es suficiente? No, hay que suponer que $\mathcal{B}$ es independiente de $\sigma(X)\vee\mathcal{A}$ .
David
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Girt
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Me pregunto si podemos escribir alguna prueba sencilla sin tener muchos conocimientos de teoría de la medida. Yo también me enfrento a este problema en mi curso de nivel introductorio. Supongamos que $X_t$ y $Y_t$ , $t\in \mathbb{R}$ son dos martingalas independientes. Entonces podemos decir $\mathbb{E}(X_t+Y_t|X_u+Y_u,u\le s)=\mathbb{E}(X_t|X_u+Y_u,u\le s)+\mathbb{E}(Y_t|X_u+Y_u,u\le s)=\mathbb{E}(X_t|X_u,u\le s)+\mathbb{E}(Y_t|Y_u,u\le s)=X_s+Y_s$ .
Y en cuanto al producto, podemos decir $\mathbb{E}(X_tY_t|X_uY_u,u\le s)=\mathbb{E}(X_t|X_uY_u,u\le s)\mathbb{E}(Y_t|X_uY_u,u\le s)=\mathbb{E}(X_t|X_u,u\le s)\mathbb{E}(Y_t|Y_u,u\le s)=X_sY_s$ .
Entonces tanto la suma como el producto son martingalas.
