Encontrar la siguiente integral: $\int {{{1 + \sin x} \over {\cos x}}dx} $

Question

Mi intento:

$\int {{{1 + \sin x} \over {\cos x}}dx} $,

dado : $u = \sin x$

Puedo usar la regla general:

$\eqalign{ & \int {f(x)dx = \int {f\left[ {g(u)} \right]{{dx} \over {du}}du} } \cr & {{du} \over {dx}} = \cos x \cr & {{dx} \over {du}} = {1 \over {\cos x}} \cr & así: \cr & \int {{{1 + \sin x} \over {\cos x}}dx = \int {{{1 + u} \over {\cos x}}{1 \over {\cos x}}du} } \cr & = \int {{{1 + u} \over {{{\cos }^2}x}}du} \cr & = \int {{{1 + u} \over {\sqrt {1 - {u^2}} }}du} \cr & = \int {{{1 + u} \over {{{(1 - {u^2})}^{{1 \más de 2}}}}}du} \cr & = \int {(1 + u){{(1 - {u^2})}^{ - {1 \más de 2}}}} du \cr Y = {(1 - u)^{ - {1 \over 2}}} + u{(1 - {u^2})^{ - {1 \más de 2}}}du \cr Y = {1 \over {({1 \over 2})}}{(1 - u)^{{1 \over 2}}} + u - {1 \over {\left( {{1 \over 2}} \right)}}{(1 - {u^2})^{{1 \over 2}}} + C \cr Y = 2{(1 - u)^{{1 \over 2}}} - 2u{(1 - {u^2})^{{1 \over 2}}} + C \cr Y = 2{(1 - \sin x)^{{1 \over 2}}} - 2(\sin x){(1 - {\sin ^2}x)^{{1 \over 2}}} + C \cr Y = {(1 - \sin x)^{{1 \over 2}}}(2 - 2\sin x) + C \cr} $

Esto está mal, la respuesta en el libro es:

$y = - \ln |1 - \sin x| + C$

Podría alguien por favor explique donde yo integrada erróneamente? Gracias!

Answer 1

Hacer esto:

$ \int { \frac { 1+\sin { x } }{ \cos { x } } dx } =\int { \frac { \left( 1+\sin { x } \right) \left( 1-\sin { x } \right) }{ \cos { x } \left( 1-\sin { x } \right) } dx= } \int { \frac { \cos { x } }{ \left( 1-\sin { x } \right) } } dx$

A continuación, hacer la sustitución de la regla

$\left( 1-\sin { x } \right) =u$

Answer 2

Sustituyó $\cos^2 x$$\sqrt{1-u^2}$, debería ser $1-u^2$.

Observación: es más fácil multiplicar parte superior e inferior por $1-\sin x$. Entonces estamos integrando $\frac{\cos x}{1-\sin x}$, fácil.

Answer 3

Dividir la fracción, se llega a integrar secx y tanx. Estándar

Answer 4

Otro enfoque (esto es esencialmente el mismo que el de su $u=\sin(x)$ subsitution) $$ \begin{align} \int\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\,\mathrm{d}x &=\int\frac{1+\sin(x)}{\cos^2(x)}\,\mathrm{d}\sin(x)\\ &=\int\frac{1+\sin(x)}{1-\sin^2(x)}\,\mathrm{d}\sin(x)\\ &=\int\frac{\mathrm{d}\sin(x)}{1-\sin(x)}\\ &=-\log(1-\sin(x))+C \end{align} $$

Answer 5

Hay una manera más fácil: $$ I = \int \frac{(1+\sin x)dx}{\cos x} = \int \frac{(1-\sin ^2 x)dx}{\cos x(1-\sin x)}=\int \frac{\cos x dx}{(1-\sin x)} = -\int \frac{d (1-\sin x)}{1-\sin x} $$ Denotar $1-\sin x=t$ para obtener $$ I=-\log |1-\sin x|+C_1 $$