Cálculo de la integral $ \int_0^{\infty} e^{-\phi^2+\phi}\cdot \phi^{2} \ln(1-2x\cos\phi+x^2)\, d\phi. $

Question

Integrar $$ \int_0^{\infty} e^{-\phi^2+\phi}\cdot \phi^{2} \ln(1-2x\cos\phi+x^2) \, d\phi. $$ Algo que puede ayudar $(1-2x\cos\phi+x^2)=(1-xe^{i\phi})(1-xe^{-i\phi})$ . Y utilizando la expansión en serie $$ \ln(1-z)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} $$ donde $|z=xe^{\pm i\phi}| \leq 1$ . La serie es absoluta y uniformemente convergente. Cualquier método está bien.

Answer 1

¡parece que su expansión es suficiente!

1. $(1-2x\cos\phi+x^2)=(1-xe^{i\phi})(1-xe^{-i\phi})$

2. $\ln(1-z)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}$

entonces se puede ampliar :

$e^{-\phi^2+\phi}\cdot \phi^{2}$$ =suma $$\frac{(-\phi^2+\phi)^{n}}{n!}$$ \cdot\phi^{2}$

entonces, su pregunta resulta ser :

$ \sum$$ \frac{(-\phi^2+\phi)^{n}}{n!} $$\cdot\phi^{2} $$ \int_0^{\infty} In(1-x^{2})dx$

¿es útil? ¡gracias!

Answer 2

Probablemente se partiría de una de las funciones generadoras (Abramowitz-Stegung 22.9), como $$1-\frac{1}{2}\ln(1-2xz+z^2) = \sum_{n\ge 0}\frac{1}{n}T_n(x)z^n$$ con polinomios de Chebyshev $T$ en su radio de convergencia.