Paradoja del cálculo. ¿Qué hay de malo en lo que pienso?

Question

¿No se basa el cálculo en la paradoja de que el punto más cercano a un punto A es un punto B distinto que es el propio punto A?

Por ejemplo, si consideramos el límite

$$ \lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{x-2} $$

Se evalúa anulando primero el $(x-2)$ factor común y luego sustituimos el valor $2$ en la función de $x$ . Es como si, al principio, consideráramos que $x$ es casi igual a $2$ pero no $2$ pero luego sustituimos el valor de $2$ . Entonces, ¿qué ocurre aquí? Del mismo modo, en las derivadas estamos considerando la tangente a una curva que la interseca en un punto distinto. Así obtenemos la pendiente exacta. Pero, a veces, estamos considerando un punto $A$ que está cerca del punto $B$ (y señala $B$ y señalar $A$ son diferentes). Pero, sabemos que el concepto de derivados es legítimo por la evidencia experimental. Entonces, ¿cómo funciona realmente todo esto?

Answer 1

Lo que ocurre es que las dos funciones $$ x\mapsto \frac{x^2-4}{x-2} \text{ and } x\mapsto x+2 $$ ambos tienen los mismos valores en todas las entradas $x$ excepto $x=2$ y la primera función es indefinida en $x=2$ y la segunda no sólo está definida sino que es continua en $x=2$ .

Decir que el límite es $4$ significa que $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ se puede hacer lo más parecido a $4$ como se desee haciendo $x$ lo suficientemente cerca, pero no igual, a $2$ .

Suponga que quiere hacer $f(x)$ entre $4-0.0000001$ y $4+0.0000001$ . Hay un número $\delta$ tan pequeño que si $x$ está entre $2-\delta$ y $2+\delta$ pero no exactamente $2$ entonces $f(x)$ está entre esos límites. Y si quieres $f(x)$ para estar entre $4-0.0000000000001$ y $4+0.0000000000001$ puede garantizar que al hacer $\delta$ más pequeño.

Answer 2

Hasta principios del siglo XIX, su interpretación habría sido esencialmente correcta. El cálculo se consideraba una técnica intuitiva más que una teoría matemática rigurosa. Cauchy cambió esta situación al establecer una teoría rigurosa.