Normal paquete a una curva en P^2

Question

Deje $C$ ser una curva suave de grado $d$$\mathbb{P}^2$$\mathbb{C}$. Decir $C$ está definido por $p(x,y,z)=0$, $p$ es homogénea de grado $d$ polinomio.

En cálculo vectorial uno aprende que el gradiente de $p$ es normal a $C$ en cada punto de la curva.

En la geometría algebraica, la invertible gavilla asociados a la normal bundle $N_{C|\mathbb{P}^2}$$C$$\mathbb{P}^2$, está dada por $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d) _{|C}$.

Hay alguna relación entre el gradiente y el bulto o la gavilla?

Answer 1

Sí, hay una fuerte relación entre los dos.

En primer lugar, vamos a trabajar de forma local afín en el espacio, en lugar de en el espacio proyectivo (hace más tiene sentido trabajar localmente sólo porque se trata de una gavilla, que se define localmente). Así que voy a considerar la posibilidad de un no-homogéneo

Trabajar sin una métrica (como ocurre en al menos el algebraicas aspectos de la geometría algebraica), quizá es mejor que no hable sobre el gradiente de $f$, pero su exterior derivados $df$, dada por la misma fórmula: $df = f_x dx + f_y dy.$ Ya que este es el diferencial de la forma valorado, vamos a compararlo con el conormal paquete a la curva de $C$ corta por $f = 0$.

Ahora el exterior derivado puede ser considerado simplemente como la toma de la principal (es decir, lineal) plazo de $f$.

Por otro lado, si $\mathcal I$ es el ideal de la gavilla de corte de la curva de $C$, entonces el conormal paquete es $\mathcal I/\mathcal I^2$. (Si $f$ grado $d$,$\mathcal I = \mathcal O(-d)$, por lo que este puede ser reescrita como $\mathcal O(-d)\_{| C}$, el doble que el normal paquete de $\mathcal O(d)\_{| C}$.) Ahora $f$ es una sección de $\mathcal I/\mathcal I^2$ (sobre los afín parche en el que estamos trabajando), por lo que sin duda podemos considerar como una sección de $\mathcal I/\mathcal I^2$; esta sección es el (la imagen en la conormal paquete a$C$) en el exterior derivado de la $f$.

La fórmula $\mathcal I/\mathcal I^2$ para el conormal paquete es, sencillamente, un estructurales la interpretación de la idea de que hemos de calcular la normal a la curva tomando el líder plazo de una ecuación para la curva.