mostrando una desigualdad no utilizando la fórmula de stirling

Question

No sé cómo demostrar que

$$ \frac{k^k}{k!}\leq e^{k} $$

sin usando la aproximación de Stirling. Quiero mostrar directamente. Supongo que necesito un poco de desigualdad para lograr esto, pero no sé.

Answer 1

La serie de Taylor para $e^x$ $$e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$ así que para un entero $k$ hemos

$$e^k = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{k^n}{n!} = 1+\frac{k}{1!}+\frac{k^2}{2!}+\cdots+\frac{k^k}{k!}+\cdots$$

Si usted no desea utilizar la serie de Taylor, podría probar con la inducción. Todos vamos a necesitar es el Teorema del Binomio, algunos de álgebra habilidades, y una pequeña (fácil de comprobar) hecho al final.

Paso uno (comenzando con $k=1$):

$$e \geq 1$$

Genial, vamos a proceder a la inducción de paso, donde suponemos que $e^k \geq \frac{k^k}{k!}$ para algunos (fijo) $k$ no menos de $2$:

\begin{align}\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!} &= \frac{(k+1)^k}{k!} \\ &= \frac{\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}k^{k-i}}{k!} \\ &= \sum_{i=0}^k \frac{1}{k!}\binom{k}{i}k^{k-i} \\ &= \sum_{i=0}^k \frac{k^{k-i}}{i!(k-i)!} \\ &= \frac{k^k}{k!}+\frac{k^{k-1}}{1!(k-1)!}+\frac{k^{k-2}}{2!(k-2)!}+\cdots+\frac{1}{k!} \\ &\leq e^k+\frac{e^{k-1}}{1!}+\frac{e^{k-2}}{2!}+\cdots+\frac{1}{k!} \\ &< e^k + e^{k-1} + \cdots + 1\end{align}

La última suma puede ser demostrado ser menos de $e^{k+1}$, siempre que se pueda demostrar que, para todos los números reales $a \geq 2$, la desigualdad de $a^{n+1} > a^n+a^{n-1}+\cdots+a+1$ tiene para todos los $n \in \mathbb{N}$.

Una breve prueba de que la última reclamación, para los interesados:

Uno puede fácilmente demostrar que $a^n+a^{n-1}+\cdots+a+1 = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$. Deje $\alpha = \frac{1}{a-1}$. A continuación, $a \geq 2 \Rightarrow 0 < \alpha \leq 1 \Rightarrow \alpha a^{n+1} \leq a^{n+1} \Rightarrow \frac{a^{n+1}-1}{a-1} = \alpha(a^{n+1}-1) < a^{n+1}$ desde $\alpha(a^{n+1}-1) < \alpha a^{n+1}$.

Answer 2

Si quieres un poco de primaria argumento no usando series de Taylor, tengo uno que solo se basa en el hecho de que para cualquier $x>0$ tenemos $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < e$ (que es demostrado por mostrar $\ln(x+1)-\ln(x) < \frac{1}{x}$ mediante la integración).

Entonces tenemos $$\begin{align*} \frac{k^k}{k!} & = \left(\frac{k}{k-1}\right)^{k-1} \left(\frac{k-1}{k-2}\right)^{k-2} \left(\frac{k-2}{k-3}\right)^{k-3}\cdots \left(\frac{4}{3}\right)^3 \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left(\frac{2}{1}\right)\\ & < e \cdot e \cdot e \cdots \cdots e \cdot e \cdot e = e^{k-1} < e^k \end{align*} $$

Answer 3

Ambos lados de la desigualdad son positivos. Modo de registro de ambos lados, y demostrar $k\ln k-\ln(k!)\le k$ : $$\ln(k!)=\sum_{i=2}^k\ln i\ge\sum_{i=2}^k\int_{i-1}^i\ln x\,dx=\int_1^k\ln x\,dx=\left[x\ln x - x\right]_1^k =(k\ln k-k)-(-1)\ge k\ln k-k $$

Answer 4

Y, sin embargo, otro enfoque. En primer lugar observamos que para $n>k$ $$ \prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)=\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\ldots\frac{n-k+1}{n}=\frac{n!}{(n-k)!n^k}\rightarrow 1\tag{1}$$ al $n\rightarrow\infty$ porque $k$ es fijo y cada término del producto converge a 1.

Por lo tanto, ya sabes que (por el binomio de expansión) \begin{align} \left(1+\frac{k}{n}\right)^n&=1+\binom{n}{1}\frac{k}{n}+\ldots+\binom{n}{k}\left(\frac{k}{n}\right)^k+\ldots+\binom{n}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^n\\ &\ge \binom{n}{k}\left(\frac{k}{n}\right)^k \\ &=\frac{n!}{(n-k)!n^k} \left(\frac{k^k}{k!}\right)\end{align} Tomando límites en ambos lados que tiene (lo que depende de la definición que tienen de $e^k$ pero por lo general este es el más elemental)

$$ e^k=\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{k}{n}\right)^n\ge\left(\frac{k^k}{k!}\right)\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-k)!n^k}=\left(\frac{k^k}{k!}\right)~~,$$ debido a (1).

Answer 5

Supongamos que $\frac{k^k}{k!}\leq e^{k} $ y $\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}> e^{k+1} $. Entonces $e =\frac{e^{k+1}}{e^{k}} <\frac{\frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{k^k}{k!}} =(1+\frac1{k})^k $.

Pero $(1+\frac1{k})^k < e $, como se muestra en muchos lugares (incluyendo esta pregunta mía: ¿Cuál es el más elemental de la prueba de que $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n$ existe?).

Por lo tanto, $\frac{k^k}{k!}\leq e^{k} \implica \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}> e^{k+1} $. Desde $\frac{1^1}{1!} < e^1 $, $\frac{k^k}{k!}\leq e^{k} $ for all $k$.