Monic Polinomios Irreducibles sobre Campo Finito

Question

Deje $F=\mathbb{F}_{q}$ ser un campo finito (por lo $q=p^k$ para algunos prime $p$ y un entero positivo $k$), y deje $\varphi(d)$ denotar el número de monic polinomios irreducibles de grado $d$$F[X]$. Voy a mostrar que $\displaystyle{\sum_{d \mid n} d \varphi(d) = q^n}$.

Veo que hay preguntas anteriores sobre este tema e incluso un papel, pero todos (salvo uno) parecen emplear el uso de la función de Möbius y Möbius de inversión - tanto en los temas que no se han tratado todavía en la clase. También hay esta respuesta, pero parece que depende de la extensión de tener el primer grado. ¿Hay alguna manera de demostrar esto sin explícitamente a venir para arriba con una fórmula para el número de irreductible monic polinomios de un determinado grado en $F[X]$?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

La división de campo de la $X^{q^n}-X$${\bf F}_{q^n}$. Cada irreductible $\pi(X)$ grado $d$ se divide en ${\bf F}_{q^n}$ y cada elemento de a ${\bf F}_{q^n}$ es una raíz de $X^{q^n}-X$, y por lo tanto $\pi(X)\mid(X^{q^n}-X)$. Además $X^{q^n}-X$ no tiene raíces repetidas para cada irreductible $\pi(X)$ grado $d\mid n$ debe aparecer en su factorización precisamente la vez. Por lo tanto llegamos a la conclusión

$$X^{q^n}-X=\prod_{d\mid n}\prod_{\deg\pi=d}\pi(X).$$

Tomando grados rendimientos $\displaystyle q^n=\sum_{d\mid n}d\varphi(d)$ (y de aquí Möbius de la inversión de los rendimientos $\varphi(d)$).