Análisis complejo - Ubicación de las raíces de un polinomio

Question

Cuántas raíces hace el polinomio $z^4 + 3z^2 + z + 1$ tiene en el derecho-la mitad de plano complejo (es decir,$Re(z) \gt 0$)?

Honestamente, no puedo pensar de cómo abordar el problema, ya que parece diferente de la ordinaria de Rouch del Teorema de problemas.

Sólo puedo decir que la respuesta es 0, 2 o 4 como todas las raíces vienen en el complejo conjugado de pares. (Por las Raíces Racionales Teorema probado en +1 y -1, el polinomio no tiene raíces reales.)

Intento de Solución [1 hora después de la publicación de la pregunta]

Después de reflexionar sobre esta cuestión un poco, me pregunto si el siguiente argumento:

• [Las Raíces Racionales Teorema de bits de arriba muestra que el número de raíces en el derecho-la mitad de plano es 0, 2 o 4.]

• El coeficiente de $z^3$ en el polinomio es 0, lo que indica que la suma de las raíces del polinomio es 0.

• Si las 4 raíces estaban en el derecho de la mitad de plano complejo, a izquierda o a la mitad de plano complejo, entonces este coeficiente no sería 0.

• Por lo tanto, el polinomio tiene 2 raíces en el derecho-la mitad de plano complejo.

Podría alguien comentar/ayuda para comprobar esto, por favor? Gracias.

Answer 1

Su solución es principalmente correcto, pero hay algunos errores.

En primer lugar, la raíz racional teorema no se decirte que no hay raíces reales. Ella le dice que no hay racional raíces. El hecho de que el polinomio no tiene raíces reales en $\Re(z) > 0$ es una consecuencia del hecho de que $x^4+3x^2+x+1 > 0$ al $x > 0$.

Usted está en lo correcto de que el coeficiente de $z^3$ cero nos dice de inmediato que todas las raíces no puede mentir en $\Re(z) > 0$. Esto significa que hay un $0$ o $2$ raíces en $\Re(z) > 0$.

Por la misma razón, puede que no se encuentran en $\Re(z) < 0$. Así que, si no se $0$ raíces en $\Re(z) > 0$ $4$ raíces debe estar en la línea de $\Re(z) = 0$. Dado que las raíces se ven en el conjugado de a pares, el polinomio tendría la forma

$$ (z^2+a^2)(z^2+b^2) $$

para algunos de los verdaderos $a$$b$. En este caso la sustitución de $z = ix$ $x$ real (es decir, una restricción para el eje imaginario) lo llevará a otro polinomio con coeficientes reales. Su polinomio no tiene esta propiedad, y por lo tanto no puede tener esta factorización. Debemos llegar a la conclusión de que hay exactamente $2$ raíces en $\Re(z) > 0$.