Los productos tensoriales conmutan con el límite inductivo.

Question

¿Cómo demostrar que los productos tensoriales conmutan con los límites directos, si el anillo principal no es el mismo?

Para cada $i$ tenemos módulos $L_i$ y $M_i$ sobre un anillo $A_i$, y para cada $i \geq j$ homomorfismos $f^i_j: L_i \rightarrow L_j$, $g^i_j: M_i \rightarrow M_j$, $u^i_j: A_i \rightarrow A_j$, tal que $f^i_j (al) = u^i_j(a)f^i_j(l)$, $g^i_j(am) = u^i_j(a) g^i_j(m)$ para cada $a \in A_i,\, l\in L_i, \, m \in M_i$. Para demostrar que $\varinjlim (L_i \otimes_{A_i} M_i) = (\varinjlim L_i)\otimes_{\varinjlim A_i} (\varinjlim M_i)$.

Answer 1

Sea $L=\lim_i L_i$, $M=\lim_i M_i$ y $A=\lim_i A_i$.

Para cada $i$, tenemos mapas canónicos $$L_i\otimes_{A_i} M_i\to L\otimes_{A_i} M \twoheadrightarrow L\otimes_A M.$$ Estos pasan al límite inductivo $$ f: \lim_i (L_i\otimes_{A_i} M_i) \to L\otimes_A M.$$ Para todo $i$, tenemos un mapa $A_i$-bilineal al componer $$ L_i\times M_i \to L_i\otimes_{A_i} M_i\to \lim_i (L_i\otimes_{A_i} M_i),$$ por lo tanto obtenemos un mapa $A_i$-bilineal $$ L\times M\to \lim_i (L_i\otimes_{A_i} M_i)$$ que es $A$-bilineal. Por lo tanto, obtenemos un mapa lineal $$ f: L\otimes_A M\to \lim_i (L_i\otimes_{A_i} M_i).$$ Verificamos directamente que $f$ y $g$ son inversos entre sí.

Editar Agregar demostración de la afirmación anterior.

Prueba: Para verificar que $g\circ f=\mathrm{Id}$, es suficiente verificar que la igualdad se cumple para vectores de la forma $x\otimes y$ con $x\in L, y\in M$ ya que generan $L\otimes_A M$. Para todo $i$, denotamos por $r_i : L_i\to L$, $s_i: M_i\to M$ los mapas canónicos. Entonces existen $i, x_i\in L_i$ y $y_i\in M_i$ tales que $x=r_i(x_i)$ y $y=s_i(y_i)$. Por construcción, $f(x\otimes y)$ es la imagen de $x_i\otimes y_i\in L_i\otimes_{A_i} M_i$ en $\lim_i (L_i\otimes_{A_i} M_i)$. Por otro lado, nuevamente por construcción, $g$ lleva esta imagen a $r_i(x_i)\otimes s_i(y_i)=x\otimes y$ en $L\otimes M$. Por lo tanto, $g\circ f=\mathrm{Id}$.

La igualdad $f\circ g=\mathrm{Id}$ se demuestra de manera similar.