Definición de colector de

Question

De La Wikipedia:

La más amplia definición común de colector es un espacio topológico localmente homeomórficos a topológico, espacio vectorial sobre los reales.

Topológico, el colector es un espacio topológico localmente homeomórficos a un espacio Euclidiano.

En ambos conceptos, un espacio topológico es homeomórficos a otro espacio topológico con los más ricos de la estructura que acaba de topología. Por otro lado, la homeomórficos asignación es sólo en el sentido de topología sin hacer referencia a los más ricos de la estructura.

Me preguntaba a qué propósito es trazar un mapa a partir de un conjunto a otro con los más ricos de la estructura, mientras que la asignación conserva el menos rico estructura compartida por tanto el dominio y codominio? ¿Cómo es el extra de la estructura en el codominio va a utilizar? Es para inducir el extra de la estructura de la codominio el dominio a través de la inversa de la asignación? ¿Cómo es la inducción como para el colector y para topológico, colector?

Gracias!

Answer 1

La razón para el uso de espacios vectoriales topológicos como modelo de espacios (por diferencial de colectores, que es) es que se puede definir la diferencial de una curva en un espacio vectorial topológico. Y usted puede utilizar esta opción para definir la diferencial de curvas en su colector, es decir, hacer la geometría diferencial.

Para más detalles, véase mi respuesta aquí.

Todos finito dimensionales topológicos, espacios vectoriales de dimensión n se isomorph a $\mathbb{R}^n$ con su canónica de la topología, por lo que no hay mucha elección. Pero en dimensiones infinitas cosas se ponen realmente interesantes :-)

Answer 2

Sí, $\mathbb{R}^n$ tiene una rica estructura de su topología, pero no estamos interesados en aquellas otras estructuras. La topología de $\mathbb{R}^n$ es muy especial y corresponde a nuestra manera más intuitiva de pensar de un "espacio". Así, sólo estamos pidiendo que nuestro colector es razonable de un objeto geométrico.

En otras palabras, cuando se define un colector usted NO desea utilizar cualquier otra estructura de un Wuclidian espacio, la estructura topológica. Por eso es definida por un homeomorphism (un mapa en el que se conserva la estructura topológica).

Answer 3

Parte de lo que es ignorado por la aparente presuposición en el último párrafo que dice: "local". Es sólo a nivel local de la misma, no necesariamente a nivel mundial. Así, una esfera o un toro localmente se parece a un avión, pero no está conectado juntos en el mismo camino.

Una cosa que a menudo se añade a las definiciones es que el colector es un espacio de Hausdorff. Este no es redundante. Algunos colectores localmente homeomórficos para Euclidiana espacios no son espacios de Hausdorff. Tomar, por ejemplo, una línea con un punto que falta y, a continuación, poner dos puntos en los que un punto era. A continuación, definir un abrir barrio de cualquiera de los dos puntos que contiene el punto, además de los otros puntos de algunos barrios de la falta. Los dos nuevos puntos no pueden ser separados uno de otro por la apertura de los conjuntos, así que no es un espacio de Hausdorff.