Establecer $a=xy^2$ y $b=a^x = y^2x$ de modo que $ab= xyx$ y $ba =y^2 x^2 y^2$ . Pero $xyxyxy = 1$ así que $xyx = y^{-1} x^{-1} y^{-1} = y^2 x^2 y^2$ Así que $a$ y $b$ conmutan, por lo que forman un subgrupo abeliano normal $A$ que es un cociente de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y que junto con $x$ o $y$ genera $G$ .
Comprobar que el producto semidirecto de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ con $x(a) = b$ , $x(b)= (ab)^{-1}$ satisface las relaciones de modo que $G$ es una generalización del grupo alterno de orden 12, teniendo en general orden $3n^2$ en lugar de $3\cdot 2^2$ .
Si omite la última relación (ponga $n=0$ ), entonces se obtiene la siguiente representación matricial integral fiel del grupo. Para incluir la última relación, basta con interpretar las matrices mod $n$ para obtener un fiel representante de la matriz sobre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .
$$ x = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \quad y = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & -1 \\-1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \quad a = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \quad b = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] $$
