¿Demostró Euclides que $\pi$ es constante?

Question

Pi se define como el cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, pero, por supuesto, diferentes círculos tienen diferentes circunferencias y diámetros, por lo que para que esté bien definido tenemos que demostrar que los cocientes para dos círculos cualesquiera es el mismo. Esto es bastante trivial si aproximamos los círculos mediante n-gons regulares y tomamos el límite a medida que n llega al infinito, lo que los antiguos llamaban el método de agotamiento de Eudoxus. Arquímedes utilizó este método con gran éxito, para encontrar la circunferencia y el área de un círculo, el volumen y la superficie de una esfera, el área limitada por una parábola, etc.

Mi pregunta es si Euclides demostró alguna vez que Pi es constante en sus Elementos. En Libro XII Propuesta II En el caso de los círculos, demuestra que la relación entre el área de un círculo y el cuadrado de su diámetro es la misma para todos los círculos, pero ¿demuestra alguna vez que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es la misma para todos los círculos? En Libro VI Propuesta 33 demuestra que para dos círculos de igual diámetro, la longitud de un arco es proporcional al ángulo que subtiende, pero ¿relaciona alguna vez las longitudes de los arcos en círculos desiguales?

Incluso si Euclides no demostró este resultado, ¿es al menos un corolario fácil de algo que sí demostró?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias por adelantado.

EDIT: En este hilo en MathOverflow se afirma que el resultado se deduce inmediatamente de Libro III Propuesta 34 y Libro VI Propuesta 33 pero no veo cómo se deduce en absoluto. Como ya he dicho, la Proposición 33 del Libro VI trata de las longitudes de arco para círculos de igual diámetro, así que ¿cómo se llega de ahí a un resultado sobre las longitudes de arco para círculos de diámetro desigual? La Proposición 34 del Libro III, que sólo trata de la transferencia de ángulos de un círculo a otro, no parece que sea suficiente.

EDIT 2: Creo que hay una proposición de la que el resultado es aún más probable que la proposición 33 del Libro VI: Libro III Propuesta 27 que dice que arcos iguales en círculos iguales corresponden a ángulos iguales. ¿Hay alguna manera de utilizar esta proposición para demostrar que los arcos sobre dos círculos desiguales que corresponden a ángulos iguales son proporcionales a los diámetros de los círculos? Es decir, si S1 y S2 son arcos subtendidos por ángulos iguales sobre círculos de diámetro D1 y D2 respectivamente, entonces S1/S2 = D1/D2.

EDIT 3: Debo aclarar que Euclides puede no haber considerado significativa la "relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro", pero creo que habría encontrado significativa la afirmación que di en mi edición anterior: si S1 y S2 son arcos subtendidos por ángulos iguales en círculos de diámetro D1 y D2 respectivamente, entonces la relación entre S1 y S2 es igual a la relación entre D1 y D2. También debo mencionar que la definición de Euclides de la igualdad de dos cocientes es La teoría de la proporción de Eudoxus un precursor de la construcción del corte de Dedekind de los números reales.

EDIT 4: Se me ocurre que al igual que Euclides creía que una recta y un arco de círculo no eran magnitudes del mismo tipo, puede que creyera lo mismo sobre los arcos de círculo en circunferencias de diámetro desigual, es decir, puede que pensara que no tiene sentido preguntarse si un arco de círculo de una circunferencia es más largo o más corto que un arco de círculo de otra circunferencia si las circunferencias no tienen el mismo diámetro. ¿Puede alguien confirmar o desmentir esto?

Answer 1

"Esto es bastante trivial si aproximamos los círculos por medio de un $n$ -y tomar el límite como n va al infinito". Describe una de las técnicas más sofisticadas de las antiguas matemáticas griegas. Seguramente no era bastante trivial.

Estudiar la Elementos más cerca y aprenderás el estilo de Euclides. La antigua geometría griega tenía una visión completamente diferente de las matemáticas, desde los cimientos. Cualquiera de los antiguos griegos encontraría absurda la noción moderna de límite. La rechazarían con el argumento de un infinito completo, y nunca aparecería en ninguna de sus obras pulidas. No digo que esté de su lado; pero eso es lo que dirían.

La respuesta, aunque anticlimática, es sencilla: La pregunta que hace es totalmente ajena al lenguaje y al espíritu del Elementos . En la obra de Euclides, $\pi$ aún no aparece. Seguro que se puede descifrar utilizando interpretaciones modernas. Pero en general, Euclides está mucho más interesado en las proporciones especiales involucradas en construyendo estructuras, en lugar de describiendo de ellos.

Al estudiar la historia de las matemáticas, el estudiante no preparado es particularmente propenso a sesgo retrospectivo . Lamentablemente, ¡también lo son muchos de los expositores populares del tema!

Answer 2

En XI.2 Euclides demostró que los círculos son proporcionales a los cuadrados en sus diámetros. De la alternancia (V.14, algo que Euclides utilizó en XII.2) se deduce que la relación de un círculo con el cuadrado en su diámetro es constante, y también lo es la relación de un círculo con el cuadrado en su radio.

Esa constante es la misma que estás llamando $\pi$ .

Euclides no demostró que la relación entre un círculo y el cuadrado de su radio es igual a la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Arquímedes lo hizo.

Que las figuras semejantes, y los círculos en particular, son proporcionales a los cuadrados de sus partes correspondientes era un principio general anterior a Euclides en más de mil años. Euclides lo demostró para los triángulos y polígonos en el Libro VI, y para los círculos en el Libro XII.

Answer 3

Ciertamente, Euclides era consciente de ello. Probablemente, no está en los Elementos porque no tenía un método riguroso para describir la longitud de una línea curva. Lo mismo ocurría con el área de una superficie curva. El método de agotamiento funciona bien para las áreas de las figuras planas, y también para los volúmenes, pero las líneas y superficies curvas son mucho más sutiles. Arquímedes demostró cómo extender el método de agotamiento a las líneas y superficies convexas.

Answer 4

Los Elementos de Euclides recogen prácticamente la mayoría de las matemáticas conocidas de su época. Es decir, hacia el año 300 a.C. Sin embargo, esto no significa que todas sus matemáticas, y en particular las método de agotamiento ( ) se cree que fue descubierto muchos años antes por el gran matemático de la Academia de Platón Eudoxo (408-355 a.C.). Cabe destacar que en el Cálculo de Apóstol (y no sólo allí) se atribuye el método para definir la integrabilidad y la integral de Riemann, donde la idea también se basa en el método de agotamiento, a Riemann-Eudoxus .

Answer 5

Hay una prueba de que pi está bien definido como relación entre la circunferencia y el diámetro en el texto de E. Moise "Elementary Geometry from an Advanced Standpoint"; aplica los resultados sobre la semejanza del Libro VI a los polígonos que se aproximan al círculo.