La distribución exacta de Wilcoxon rank-sum estadística U

Question

El distribition del rank-sum estadística U se supone que para ser normal para un gran número de muestras que se considera. ¿Cuál es la distribución exacta? Quiero comparar y a veces fusible resultados de varias pruebas en algunas de las pruebas podría no tener un gran número de muestras. Quiero tener una exacta distribución en los casos en que, a decir $n_1 n_2 < 30$. Hay una forma cerrada que puede ser utilizado o calculado?

Actualización: Así que al parecer, la gente citar Streitberg, B. y J. Rohmel, Exacta de las distribuciones de permutación y el rango de pruebas: Una introducción a algunos de los recientemente publicados algoritmos, Estatista. Software De Boletín De Noticias 1 (1986) 10-17. para la distribución exacta, pero no he sido capaz de encontrar el papel o el resultado.

Answer 1

AFAIK, no hay forma cerrada para la distribución. El uso de R, la ingenua implementación de obtener la exacta distribución que funciona para mí hasta tamaños de grupo de al menos 12 - que toma menos de 1 minuto en un Core i5 uso Windows7 64bit y actual R. R del propio más inteligente algoritmo en C que se utiliza en pwilcox(), se puede comprobar el origen de archivo src/nmath/wilcox.c

n1 <- 12                                # size group 1
n2 <- 12                                # size group 2
N  <- n1 + n2                           # total number of subjects

Ahora generar todos los posibles casos de las filas dentro del grupo 1. Estos son todos los ${N \choose n_{1}}$ diferentes muestras de los números de $1, \ldots, N$ del tamaño de la $n_{1}$. A continuación, calcular el rango de la suma (= estadístico de prueba para cada uno de estos casos. El cómputo de estas rango sumas de dinero para obtener la función de densidad de probabilidad de la frecuencia relativa, la suma total de estas frecuencias relativas es la función de distribución acumulativa.

rankMat <- combn(1:N, n1)               # all possible ranks within group 1
LnPl    <- colSums(rankMat)             # all possible rank sums for group 1
dWRS    <- table(LnPl) / choose(N, n1)  # relative frequencies of rank sums: pdf
pWRS    <- cumsum(dWRS)                 # cumulative sums: cdf

Comparar la distribución exacta en contra de la asintóticamente correcta distribución normal.

muLnPl  <- (n1    * (N+1)) /  2         # expected value
varLnPl <- (n1*n2 * (N+1)) / 12         # variance

plot(names(pWRS), pWRS, main="Wilcoxon RS, N=(12, 12): exact vs. asymptotic",
     type="n", xlab="ln+", ylab="P(Ln+ <= ln+)", cex.lab=1.4)
curve(pnorm(x, mean=muLnPl, sd=sqrt(varLnPl)), lwd=4, n=200, add=TRUE)
points(names(pWRS), pWRS, pch=16, col="red", cex=0.7)
abline(h=0.95, col="blue")
legend(x="bottomright", legend=c("exact", "asymptotic"),
       pch=c(16, NA), col=c("red", "black"), lty=c(NA, 1), lwd=c(NA, 2))

Answer 2

Caracal la respuesta es agradable, pero es importante tener en cuenta que la gran ejemplo de aproximación que funciona mejor para la igualdad de tamaños de muestra, y se puede realizar mucho peor para desequilibrio de las muestras.

El papel que usted (y yo) está buscando para obtener más general en las estadísticas de la Wilcoxon (de Jonckheere-Terpstra, Paraguas pruebas, etc...).

Mehta tiene algunos papeles alrededor de 1984, que debería acelerar el cálculo de la distribución, pero estoy de acuerdo con Caracal que pwilcox() debe hacer el truco para ti a menos que sus muestras son bastante grandes.

También, considerar el análisis de la probabilidad de generación de función para la de Wilcoxon, que de una forma cerrada de la solución existe y se manifiesta tan pronto como Jonckheere del original en papel, y muchas veces después de eso. Esto puede o puede no ser útil, dependiendo de su aplicación.