Se sabe que es muy difícil encontrar la media aritmética de la naturaleza de la mayoría de los números reales, tales como las constantes que aparecen en el análisis matemático, por ejemplo,$\zeta (5)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{5}}$.
Roger Apéry demostrado directamente que $\zeta(2)$ es irracional. Y él fue el primero en demostrar que $\zeta(3)$ es irracional. Él construyó dos secuencias $(a_n),(b_n)$ $[1]$
$$\begin{equation*}
a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2}c_{n,k},
\qquad b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}\binom{n+k}{k}^{2},\end{ecuación*}$$
donde
$$\begin{equation*}
c_{n,k}=\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{m^{3}}+\sum_{m=1}^{k}\frac{\left( -1\right)
^{m-1}}{2m^{3}\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\quad k\leq n.
\end{ecuación*}$$
La relación de $a_n/b_n\to\zeta(3)$ y tiene las siguientes propiedades:
- $2(b_{n}\zeta (3)-a_{n})$ satisface $\lim\sup \left\vert 2(b_{n}\zeta (3)-a_{n})\right\vert^{1/n}\le(\sqrt{2}-1)^4 $.
- $b_{n}\in \mathbb{Z},2(\operatorname{lcm}(1,2,\ldots ,n))^{3}a_{n}\en
\mathbb{Z}$.
- $\left\vert b_{n}\zeta (3)-a_{n}\right\vert >0$.
Esto es suficiente para demostrar la irracionalidad de la $\zeta (3)$ por la contradicción. $[2]$.
No es La Tricki entrada Para demostrar que un número es irracional, demuestran que es casi racional que da dos ejemplos y explica el principio de algunas pruebas de la irracionalidad de los números.
Las referencias.
$[1]$ Poorten, Alf., Una Prueba de que Euler Perder..., Apéry la prueba de la irracionalidad de la $\zeta(3)$. Un informe informal, Matemáticas. Intelligencer 1, nº 4, 1978/79, pp 195-203.
$[2]$ Fischler, Stéfane, Irrationalité de valeurs de zêta (d' après Apéry, Rivoal, ...), Seminario Bourbaki 2002-2003, exposé nº 910 (nov. 2002), Astérisque 294 (2004), 27-62
$[3]$ Apéry, Roger (1979), Irrationalité de $\zeta2$ et $\zeta3$, Astérisque 61: 11-13
