Generalizada Teorema Del Binomio Intuición

Question

No fue hasta recientemente (¿por qué no les enseñan en la escuela secundaria?) que he llegado a través de la Generalizada Teorema del Binomio, que por lo que puedo decir es básicamente el mismo que el regular Teorema del Binomio, excepto que la suma es finita reemplazar por una serie infinita:

$$ (x+y)^n=\sum^{n}_{i=0}\binom{n}{r}x^{n-r}y^r=\sum^{\infty}_{i=0}\binom{n}{r}x^{n-r}y^r $$

Por desgracia, no he sido capaz de encontrar ninguna explicación clara de cómo llegar desde el regular teorema de la generalización, la única prueba de que he encontrado que se basa en algún oscuro matemáticas, mientras que mi libro de matemáticas totalmente omite la explicación.

Por lo tanto, mi pregunta es ¿cómo se puede demostrar el teorema generalizado por el que se deriva del teorema o de otra manera?

Answer 1

Aquí es otro enfoque: La fórmula $$(1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty {\alpha\choose k}\, x^k\qquad(1)$$ es cierto para $\alpha\in{\mathbb N}$; así que tal vez su verdadero arbitrarias $\alpha$. Para averiguar fijar un $\alpha\in{\mathbb R}$ y considere la función $$f(x):=\sum_{k=0}^\infty {\alpha\choose k}\, x^k\qquad(|x|<1)\ .$$ El uso de termwise la diferenciación se obtiene $$f'(x)=\sum_{k=1}^\infty {\alpha\choose k}\,k\, x^{k-1}=\sum_{k'=0}^\infty {\alpha\choose k'+1}\,(k'+1)\, x^{k'}=\sum_{k=0}^\infty {\alpha\choose k}\,(\alpha -k)\, x^k\ .$$ Por lo tanto, el uso de la tercera y la primera expresión de $f'(x)$, obtenemos $$(1+x)f'(x)=\sum_{k=0}^\infty {\alpha\choose k}\,(\alpha -k)\, x^k+\sum_{k=0}^\infty {\alpha\choose k}\,k\, x^k=\alpha f(x)\ ,$$ o $$(1+x)f'(x)-\alpha f(x)\equiv0\ .$$ De ello se desprende que ${d\over dx}\bigl((1+x)^{-\alpha} f(x)\bigr)\equiv0$ o $(1+x)^{-\alpha} f(x)={\rm const.}$, y como $f(0)=1$ uno llega a la conclusión de que $f(x)\equiv (1+x)^\alpha$ donde $(1)$ es cierto para $|x|<1$.

Answer 2

Además (y para referencia en el futuro) a la de todos los demás respuestas que he encontrado el siguiente es verdadero:

$$ \begin{align} (x+y)^n&=\sum^{n}_{r=0}\binom{n}{r}x^{n-r}y^r &\qquad(1)\\ &=\sum^{\infty}_{r=0}\binom{n}{r}x^{n-r}y^r &\qquad(2) \end{align} $$

• Deje $x,y\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Eq. $(1)$ $(2)$ son true si y sólo si $n\in\mathbb N$.
• Para $n\in\mathbb C$ $(2)$ para mantener los valores de $x$ $y$ debe satisfacer $|x|>|y|$.

Una mirada rápida en el caso de $y=1$ nos dice que: $$ \begin{align} (1+x)^n&=\sum^{\infty}_{r=0}\binom{n}{r}x^r &\qquad(3)\\ &=\sum^{\infty}_{r=0}\binom{n}{r}x^{n-r} &\qquad(4) \end{align} $$

• Al $n\in\mathbb{C}$ $|x|&lt1$ tendríamos que usar $(3)$
• Al $n\in\mathbb{C}$ $|x|>1$ tendríamos que usar $(4)$
• Al $n\in\mathbb{N}$ o $|x|=1$ ecuación de obras