Me siento inspirado por Yuhao pregunta. El functor que lleva a un esquema de S al conjunto de k-dimensional vector subbundles de C^n x S (comprensión "subbundle" significa que el cociente por es otro vector paquete) está representado por el Grassmannian G(k,n). Lo functor es representado por el Schubert subvariedades de G(k,n)?
El Schubert variedad asociada a una secuencia de números d = (d_0,d_1,...,d_n) es la colección de k-aviones que cumplen con el estándar i-plano en un subespacio de dimensión $\geq$ d_i. (Los d para que los asociados de Schubert en la variedad está vacía son, naturalmente, los parámetros k-elemento de subconjuntos de {1,2,...,n}, o más útilmente por las particiones que se ajustan a un k x (n-k) en la casilla.)
Es tentador decir que el functor representado por una variedad de Schubert debe tomar un esquema S para el conjunto de subbundles de C^n x S que, fibra por fibra, cumplir con el estándar i-plano en un subespacio de dimensión $\geq$ d_i. Pero no sé lo que esto significa en un no-reducción de esquema.
Una manera de buscar un módulos de interpretación para el functor representado por una variedad X es encontrar uno o varios "universal" o "tautológica" a las familias de las cosas sobre X. Entonces uno tiene la esperanza de que las familias de las cosas del mismo tipo sobre otro esquema de S será empujado hacia atrás a lo largo de los mapas desde la S a la X. El aspecto natural tautológica objetos a través de una variedad de Schubert son las familias de las intersecciones $V \cap \mathbf{C}^i$, donde V se ejecuta a través de k-aviones pertenecientes a la variedad de Schubert. Estas familias no son equidimensional, y, en particular, no plana; esto podría ser un obstáculo.
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Es muy claro lo que va de Steven respuesta, pero decidí seguir hasta el final y escribir un functor. Más allá de decir que estas cosas son cero loci de interesantes secciones de vector de paquetes, este punto de vista, probablemente no mucho iluminar Schubert variedades. Pero aquí está.
Steven respuesta es más limpio si consideramos que el Grassmannian y sus subvariedades como la parametrización de los cocientes en lugar de los subespacios de C^n. Así que un punto en el Grassmannian G(k,n) es un isomorfismo de la clase de surjective mapas C^n --> V, o, equivalentemente, de tuplas (V,v_1,...,v_n), donde V es un k-dimensional espacio vectorial y v_1,...,v_n span V.
La clase de equivalencia de (V,v_1,...,v_n) pertenece a la variedad de Schubert correspondiente a r = (r_1,...,r_n) si para cada i, la primera me términos en la lista de vs abarcan un subespacio de dimensión $\leq$ r_i. Como en la respuesta que podemos utilizar exterior poderes para hacer sentido de estas rango de condiciones a través de un esquema de S. Entonces S con valores de punto de Schubert variedad correspondiente a r es una clase de equivalencia de tuplas (E,s_1,...,s_n) donde
- E es un vector paquete
- s_1,...,s_n es una lista de las secciones de E
- estas secciones generar E en cada fibra, y dado yo y cualquier (r_i + 1)-tupla de secciones elegido (s_1,...,s_i), tenemos
$$s_{j_1} \wedge s_{j_2} \wedge \cdots \wedge s_{j_{r_i + 1}} = 0$$
Por ejemplo, si S = Spec(C[x]/x^2), y E es el rango 2 gratis gavilla en S se extendió por e_1 y e_2, entonces (x.(ae_1 + be_2), x.(ce_1 + de_2), e_1, e_2) es un S con valores de punto de Schubert variedad correspondiente a r = (1,1,2,2). Los números complejos a,b,c, y d de la parametrización de las 4 dimensiones de Zariski el espacio de la tangente al punto singular en este 3-dimensional de la variedad.
Hay un cabo suelto. Creo que es claro que el functor $$S \mapsto \{(E,s_1,\ldots,s_n)\}/\sim$$ representa un subscheme de la Grassmannian con el mismo conjunto teórico de apoyo como una variedad de Schubert. Por qué representar a la real Schubert variedad? Sería suficiente para saber que la representación del objeto se reduce. Pero yo no sé ni cómo expresar "X es reducido" en términos de la functor de puntos de Hom(-,X).
