El positivo de la raíz de la ecuación trascendental $\ln x-\sqrt{x-1}+1=0$

Question

He resuelto numéricamente la ecuación trascendental $$\ln x-\sqrt{x-1}+1=0$$ y se obtiene un valor aproximado de su raíz real positiva de $$x \aprox 14.498719188878466465738532142574796767250306535...$$

Me pregunto si es posible expresar la solución exacta en términos de conocer constantes matemáticas de primaria y o funciones especiales (estoy especialmente interesado en las implementadas en Mathematica)?

Answer 1

Sí, es posible expresar esta raíz, en términos de funciones especiales implementado en Mathematica.

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Comience con su ecuación $$\ln x-\sqrt{x-1}+1=0,\tag1$$ a continuación, tomar exponentes de ambos lados $$x\ e^{1-\sqrt{x-1}}=1.\tag2$$ Cambio de la variable $a$z=\sqrt{x-1}-1,\tag3$$ a continuación, conecte esta en $(2)$ y dividir ambos lados por $2$ $$\left(\frac{z^2}2+z+1\right)e^{-z}=\frac12.\tag4$$ Ahora la mano izquierda parece muy familiar. De hecho, como puede verse a partir de DLMF 8.4.8 o las fórmulas de $(2),(3)$ en este MathWorld página, es un caso especial (para $a=3$) de la regularización de la función gamma $$P(a,z)=\frac{\Gamma(a,z)}{\Gamma(a)},\tag5$$ implementado en Mathematica como GammaRegularized[a, z].

Su inverso con respecto a $z$ es denotado como $P^{-1}(a,s)$ e implementado en Mathematica como InverseGammaRegularized[a, s]. Podemos utilizar esta función para expresar el positivo de la raíz real de la ecuación $(4)$ es una forma cerrada $a$z=P^{-1}\left(3,\ \frac12\right).\tag6$$

Por último, el uso de $(3)$ podemos expresar el positivo de la raíz real de la ecuación $(1)$ de la siguiente manera: $$x=\left(P^{-1}\left(3,\ \frac12\right)+1\right)^2+1.\tag7$$

La correspondiente Mathematica expresión es

(InverseGammaRegularized[3, 1/2] + 1)^2 + 1

Podemos comprobar numéricamente que la sustitución de esta expresión en el lado izquierdo de la ecuación $(1)$ de hecho, produce $0$.

Yo no era capaz de expresar el resultado en términos de funciones simples (como la W de Lambert-función).