¿Son válidas en coordenadas cilíndricas y esféricas las identidades de cálculo vectorial en coordenadas cartesianas con Div, Grad, Curl?

Question

Estos operadores se escriben de distintas formas en cartesiano, cilíndricas y esféricas. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas esféricas se tiene

$$\nabla \cdot \overrightarrow{F}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r} \left( r^{2}F_{r}\right) +\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta \cdot F_{\theta }\right) +\frac{1}{r\sin \theta } \frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }.$$

Pregunta : ¿Identidades como

$$\nabla \cdot \left( \overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}\right) =% \overrightarrow{B}\cdot \nabla \times \overrightarrow{A}-\overrightarrow{A}% \cdot \nabla \times \overrightarrow{B}$$

¿se mantienen en general cuando se utilizan sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas o hay que adaptarlos?

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Añadido : Después de haber leído los comentarios se me ocurrió que la invariancia de estas identidades con respecto al sistema de coordenadas es una consecuencia de las definiciones de los operadores mencionados en términos de integrales, por ejemplo:

$$\nabla \cdot \overrightarrow{F}=\underset{V\rightarrow 0}{\lim }\frac{1}{V}% \underset{S}{\int \int }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}\;dA$$

donde $V$ es el volumen de una región cerrada delimitada $T$ , $S$ es la superficie de $T$ y $\overrightarrow{n}$ el vector normal unitario exterior a $S$ .

Answer 1

[Esta respuesta no aporta nada nuevo, pero me resultaba demasiado doloroso intentar publicarla como comentario].

No hace falta hablar de formas diferenciales, ni de identidades integrales, para demostrar la validez de las fórmulas de cálculo vectorial en coordenadas esféricas (¡aunque ambos puntos de vista son muy bonitos!). Si $\vec{F}(x,y,z)$ es un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por ejemplo, y $\vec{F}(r,\theta,\varphi)$ es el mismo campo vectorial pero ahora expresado en coordenadas esféricas, entonces la fórmula para $\nabla$ en coordenadas esféricas es determinado por el requisito de que $\nabla\cdot \vec{F}(x,y,z)$ y $\nabla\cdot \vec{F}(r,\theta,\varphi)$ se corresponden entre sí como campos vectoriales cuando se pasa de coordenadas cartesianas a coordenadas shpericales.

Del mismo modo, si $\vec{A}(x,y,z)$ y $\vec{B}(x,y,z)$ son un par de campos vectoriales expresados en coordenadas cartesianas, con $\vec{A}(r,\theta,\varphi)$ y $\vec{B}(r,\theta,\varphi)$ siendo los mismos campos vectoriales pero ahora expresados en coordiantes esféricos, entonces $\vec{A}\times \vec{B}$ (expresada en coordenadas cartesianas) corresponderá a $\vec{A}\times \vec{B}$ (expresado en coordenadas esféricas). Por lo tanto, el lado izquierdo de la identidad a comprobar, cuando se calcula en coordenadas cartesianas, coincidirá (bajo el cambio de coordenadas esféricas a cartesianas) con la misma expresión expresión cuando se calcula en coordenadas esféricas. Lo mismo ocurre con el lado derecho de la identidad. Así pues, la identidad es igualmente válida en coordenadas cartesianas o esféricas. (De nuevo, el punto clave es que las fórmulas para grad, div, y curl bajo un cambio de coordenadas son definido para que el argumento anterior sea válido).

Answer 2

[Publico esta respuesta como se sugiere en un comentario].

Las identidades del Cálculo Vectorial con Div, Grad, Curl son independientes del sistema de coordenadas.

Una posible explicación es que pueden expresarse en términos de integrales cuyos valores no dependen del sistema de coordenadas concreto que se utilice. Como ejemplo, se tiene el siguiente límite para la divergencia del campo vectorial $\overrightarrow{F}$ :

$$\nabla \cdot \overrightarrow{F}=\underset{V\rightarrow 0}{\lim }\frac{1}{V}\underset{S}{\int \int }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}\;dA$$

donde $V$ es el volumen de una región cerrada delimitada $T$ , $S$ es la superficie de $T$ y $\overrightarrow{n}$ el vector unitario normal exterior a $S$ .