Resultados de teoría de números elementales que no son generalizados por la teoría de anillos o de grupos

Question

He tomado un curso de pregrado en teoría de anillos y grupos, pero no he estudiado teoría de números de manera formal. He notado que muchos resultados importantes en teoría de números se han generalizado en teoría de grupos/anillos (por ejemplo, el Teorema de Lagrange generalizando el Pequeño Teorema de Fermat).

Mi pregunta es, ¿hay algún resultado en teoría de números elemental que no se haya generalizado usando teoría de grupos y anillos elemental?

Answer 1

Los problemas para enteros cuyas generalizaciones en teoría de números algebraicos no han sido desarrolladas (o al menos consideradas) son poco frecuentes. Los únicos ejemplos que conozco son:

1. Problemas antiguos sin una fuerte relación con técnicas algebraicas modernas. Esto incluye la existencia de números perfectos impares y la composición de números de Fermat $2^{2^k}+1$. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la mayoría de los problemas muy antiguos han sido entendidos o resueltos mediante técnicas modernas, como el problema del número congruente y el Último Teorema de Fermat siendo reducido a hechos sobre curvas elípticas, o el enfoque probabilístico sobre la distribución de tipos especiales de números primos (gemelos, Mersenne, progresiones de k términos, etc), y estos problemas mejor comprendidos son más propensos a ser generalizados más allá de los enteros.

2. Preguntas de naturaleza combinatoria, como cubrir congruencias o progresiones aritméticas (teoremas de van der Waerden). Aquí los problemas pueden generalizarse a otros anillos, pero la mayoría del interés se ha centrado en el caso de los enteros.

3. Usos de teoría de números en lógica y ciencias de la computación, como la codificación de Gödel, la complejidad de la aritmética de Presburger u otros problemas donde aparece la exponenciación iterada. La teoría de números algebraicos se trata principalmente de problemas descritos por ecuaciones polinómicas, y la reducción de ecuaciones diofánticas exponenciales a ecuaciones polinómicas (como en la solución del décimo problema de Hilbert) no es lo suficientemente directa como para permitir el uso de las herramientas algebraicas estándar.

Para todo lo demás, donde las técnicas algebraicas estándar o analíticas (funciones zeta, aproximación diofántica, cribas, teoría de la trascendencia, análisis complejo, etc) son aplicables a un problema sobre los enteros, generalmente ha habido un esfuerzo para buscar análogos de esos métodos en teoría de números algebraicos, teoría de números p-ádicos, geometría sobre cuerpos finitos y geometría compleja. Esto se aplica a todas las técnicas y teorías principales desarrolladas desde 1800. Por lo tanto, para encontrar ejemplos uno necesita alejarse de la teoría de números "núcleo central" y mirar preguntas que no sean, hasta ahora, principalmente estudiadas mediante los métodos de teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

Answer 2

Sostengo que cada resultado que razonablemente podría llamarse teoría de números "elemental" también se cumple para $\mathbb{F}_q[x]$, el anillo de polinomios en una variable sobre un campo finito. La reciprocidad cuadrática encaja aquí, por ejemplo. Este es el tema de al menos un libro.