¿Mapear la superficie de la esfera a un espacio vectorial de forma que se conserven las distancias?

Question

Tengo una esfera de radio unitario (digamos en 3D) centrada en el origen. Así, la distancia más corta entre dos puntos de la esfera es la geodésica. ¿Existe una transformación (lineal o no lineal) sobre los puntos de la esfera a un espacio de mayor dimensión (o menor si existe), tal que la distancia entre los puntos de la esfera se conserve también en el espacio transformado?

Para hacerlo más riguroso: dejemos que $x_1$ y $x_2$ sean los dos puntos de la esfera. Sea $y_1=T(x_1)$ y $y_2=T(x_2)$ sean los puntos transformados. Sea $d_s(x_1,x_2)$ sea la distancia más corta entre $x_1$ y $x_2$ en la superficie de la esfera. ¿Existe algún T(.) tal que $$d_s(x_1,x_2)=||y_1-y_2||_2^2$$ (la distancia euclidiana) en el espacio transformado se mantiene.

También se agradece cualquier referencia a investigaciones o bibliografía relevante. Cualquier enfoque de ingeniería también es bienvenido.

Answer 1

Cuando $d=1$ es posible, por supuesto, incrustar grandes trozos de $S^d$ isométricamente en ${\mathbb R}^n$ .

Cuando $d\geq2$ no es posible incrustar ni siquiera pequeños trozos de $S^d$ isométricamente en ${\mathbb R}^n$ .

Prueba. Toma tres puntos cualesquiera $x_1$ , $x_2$ , $x_3\in S^d$ formando un pequeño triángulo equilátero en la métrica de $S^d$ . Se trata entonces de un triángulo esférico "ordinario" $\triangle$ con la longitud del lado $s>0$ en el $2$ -esfera $S^d\cap\langle x_1,x_2,x_3\rangle$ . Un mapa $f$ del tipo requerido mapeará el $x_i$ a los vértices $y_i$ de un triángulo equilátero $\triangle'$ incrustado en ${\mathbb R}^n$ y que tiene una longitud lateral $s$ también. La distancia de un vértice $y_i$ hasta el punto medio del lado opuesto en $\triangle'$ asciende a ${\sqrt{3}\over2}s$ que es ciertamente diferente de la distancia correspondiente en $\triangle$ .

Answer 2

Creo que el Gnomónica proyección a $\mathbb{R}^2$ podría hacer el truco.

Mapea grandes círculos (es decir, geodésicas) en una esfera a líneas rectas en un plano. Por lo tanto, se conserva el camino más corto.