El uso de dos diferentes de la suma de la diferencia de identidades trigonométricas da dos resultados diferentes en una tarea donde la elección de la identidad parecía carecer de importancia. El trabajo se hace de la siguiente manera:
Dado $\cos 2x =-\frac {63}{65} $ , $\cos y=\frac {7} {\sqrt{130}}$, bajo la condición de $0<x,y<\frac {\pi}{2}$, calcular el $x+y$.
El primer par de pasos son los mismos: la búsqueda de $\sin$ $\cos$ valores de $x$$y$.
De $\cos 2x$ tenemos:
\begin{align*} \cos 2x &=-\frac {63}{65} \\ \cos2x &= \cos^2x-\sin^2x = \cos^2x - (1-\cos^2x)=2\cos^2x -1 \\ 2\cos^2x -1 &= -\frac {63}{65} \\ 2\cos^2x &=\frac {-63+65}{65} \\ \cos^2x &=\frac {1}{65} \\ \cos x &=\frac {1} {\sqrt{65}} \end{align*} (tomando sólo el valor positivo de la $\cos x$ porque $\cos x$ siempre es positivo bajo el dominio dado)
\begin{align*} \sin^2x &=1-\frac {1}{65} \\ \sin^2x &=\frac {64}{65} \\ \sin x &=\frac {8} {\sqrt{65}} \end{align*} (de nuevo, sólo valor positivo)
De $\cos y$ tenemos:
\begin{align*} \cos y &=\frac {7} {\sqrt{130}} \\ \cos^2y &=\frac {49} {130} \\ \sin^2y &=1-\frac {49} {130} \\ \sin^2y &=\frac {81} {130} \\ \sin y &=\frac {9} {\sqrt{130}} \end{align*}
Ahora que hemos reunido la información necesaria, se procede a calcular el valor de alguna función trigonométrica de $x+y$, con la esperanza de que vamos a conseguir algunos básicos ángulo:
sin(x+y): \begin{align*} \sin(x+y) &=\sin x \cos y + \sin y \cos x =\frac {8} {\sqrt{65}} \frac {7} {\sqrt{130}} + \frac {9} {\sqrt{130}}\frac {1} {\sqrt{65}} \\ \sin(x+y) &=\frac {65} {\sqrt{65}\sqrt{130}} \\ \sin(x+y) &=\frac {\sqrt{2}}{2} \end{align*} Por lo tanto, $x+y =\frac {\pi}{4}+2k{\pi}$ O $x+y =\frac {3\pi}{4}+2k{\pi}$
Desde $x$ $y$ están en el primer cuadrante, su suma debe estar en el primer o segundo cuadrante.
Las soluciones son: $x+y= \{\frac {\pi}{4}, \frac {3\pi}{4} \}$
cos(x+y): \begin{align*} \cos(x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y =\frac {1} {\sqrt{65}} \frac {7} {\sqrt{130}} - \frac {8} {\sqrt{65}}\frac {9} {\sqrt{130}} \\ \cos(x+y) &=-\frac {65} {\sqrt{65}\sqrt{130}} \\ \cos(x+y) &=-\frac {\sqrt{2}}{2} \end{align*} Por lo tanto, $x+y =\frac {3\pi}{4}+2k{\pi} $ O $x+y =\frac {5\pi}{4}+2k{\pi}$
Ahora sólo podemos tener una solución: $x+y=\{\frac {3\pi}{4}\}$
Similar sucede con la $\cos(x-y)$.
Mi pregunta es: ¿por qué estos dos fórmulas dan dos soluciones diferentes? General insight sería genial, ya he encontrado un montón de ejemplos con problemas similares. Gracias de antemano.
