Es bien conocido el resultado de que la secuencia de $$ a_n= \frac{(-1)^nn}{n+1}, $$ tiene dos límite de puntos, y estas son las $1$$-1$.
Estoy buscando algunos ejemplos de secuencias que tienen exactamente $k$ límite de puntos. Por supuesto, la secuencia de alguna manera dependen de $k$. Sólo tengo curiosidad.
En general, usted puede construir una secuencia de con $k$ límite de puntos por la elección de $k$ secuencias de $(a^i_j)_{j=1}^\infty$ donde $i$ los índices de la secuencia, la convergencia de distintos puntos de $a^i$ ( $a^i_j\underset{j\to\infty}{\longrightarrow} a^i$ ); a continuación, la secuencia $(a^1_1,a^2_1,\ldots,a^k_1,a^1_2,\ldots,a^k_2,\ldots)$ será una secuencia con el límite de puntos de $\{a^i\}$.
En este ejemplo, $\mathbb{N} = \{1,2,\ldots\}$
El ejemplo más fácil de lo que podía pensar:
Tome este conjunto:$$\left\{\frac{1}{n} +j: 1\le j \le k, j\in \mathbb{N}, n\in \mathbb{N} \right\}$$
Definir $a_{(j,n)} = \frac{1}{n} + j$.
Dar el set $\textbf{K} \times \mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,\ldots k\}\times \mathbb{N}$ el fin de: $<$ donde $(a,b) < (c,d)$ fib $b<d \text{ or } b=d \text{ and } a<c$. Este órdenes de $\textbf{K}\times \mathbb{N}$ tipo $\mathbb{N}$, de modo que podemos definir una función de $f:\mathbb{N}\to \textbf{K} \times \mathbb{N}$ $$ f(0) = {\min\left(\textbf{K} \times \mathbb{N} , <\right)}\\ f(i+1) = \min\left(\textbf{K}\times \mathbb{N}\setminus f(i), <\right) $$ Ahora establezca $a_i = a_{f(i)}$
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