Intuitiva explantions para los conceptos de divisor y género

Question

Cuando tratamos de explicar AG-códigos de científicos de la computación, los principales puntos de controversia estoy enfrentado con los conceptos de divisores, Riemann-Roch espacio y el género de una función de campo. Hay intuitiva explicaciones para estos conceptos, preferiblemente explicaciones que son menos dependientes en el conocimiento de la algebraicas geometría/topología?

Answer 1

Si usted quiere evitar la geometría algebraica y la topología, entonces usted probablemente estará obligado a usar el álgebra. Esto está bien, porque las cosas que preguntar acerca de tener algebraicas interpretaciones.

Primero de todo, es que probablemente ayuda a escribir la función de campo como $k(x,y),$ donde $x$ y $y$ son relacionados por algunos ecuación $f(x,y) = 0$. Uno de los problemas es que va a ser que $f$ no puede ser elegido para ser suave en general (debido a que no todos los de la curva puede ser incorporado como un suave plano de la curva), pero es probablemente la mejor manera de ignorar este; si se convierte en importante, entonces, probablemente, a sus colegas será profundizar en la teoría de todos modos, y, entonces, el nivel de explicación puede ser intensificado.

Ahora para explicar divisores, usted puede imaginar intersección de $f(x,y) = 0$, con algunos otros de la curva de $g(x,y) = 0$; las intersecciones va a ser un montón de puntos, posiblemente con la multiplicidad. Este es un divisor. Así divisores son sólo formas naturales de la codificación de cómo las curvas se cruzan el uno al otro. (De nuevo, estoy ignorando aquí el tema de los puntos en el infinito; usted tendrá que decidir si es apropiado, o si usted necesita un mayor nivel de precisión en sus explicaciones.)

Como para el género, es un poco más complicado de explicar, de manera algebraica, pero posible; aquí va:

Supongamos que la ecuación $f(x,y) = 0$ grado $d$, por lo que su campo de función corresponde a un grado $d$ de la curva en el plano. Ahora vamos a $V_n$ ser el espacio vectorial de todos los polinomios de grado $\leq$ n, $x$ y $y$. Supongamos que $n \geq$ d (y, en general, se debe creo que $n$ es grande).

Un simple cálculo muestra que $V_n$ ha dimensión $(n+2)(n+1)/2$. Dentro de $V_n$, tenemos un subespacio que consta de todos los múltiplos de $f$. Este subespacio es obtenida por la toma de los elementos de $V_{n-d}$ (es decir, los polinomios de grado a lo más $n-$ d) y multiplicándola por $f$, es decir, el subespacio $f V_{n-d}$ de $V_n$, y así ha dimensión $(n-d+2)(n-d+1)/2$. Si nos fijamos en el cociente $V_n/fV_{n-d},$ esto entonces tiene dimensión $n de d + 1 - (d-1)(d-2)/2$.

¿Cuál es el significado de este cociente?

Si $g \in V_n$ representa un elemento no nulo de $V_n/fV_{n-d}$, entonces es un grado $n$ ecuación que no es divisible por $f$, por lo que no se desvanecen de forma idéntica en $f(x,y) = 0$, entonces por el teorema de Bezout, la intersección de $g(x,y) = 0$ y $f(x,y) = 0$ es $n$ d puntos, es decir, un divisor de grado $n$ d. Así que podemos ver que no-cero de los elementos de $V_n/f V_{n-d}$ corresponden a los divisores de grado $n$ d, que se obtiene por intersección de $f(x,y) = 0$, con un grado $$ n de la curva. (De hecho, deberíamos pensar acerca de la no-cero de los elementos de seguridad a escala, porque si multiplicamos $g$ por un no-cero escalar, la curva de $g(x,y) = 0$ no cambia.)

Por lo tanto, entre todos los grados de $n$ d divisores de $f(x,y) = 0$, los que vienen por la intersección de un grado $$ n de la curva de formar un espacio de dimensión $n de la d - (d-1)(d-2)/2.$ (Aquí me tienen resta 1, ya que el reescalado de cuentas para 1 de las dimensiones en la fórmula de arriba.)

Ahora, ¿cuál es la dimensión del espacio de todos los divisores de grado $n$ d (con la no-negativo de los coeficientes de que son el único tipo que puedan surgir como intersecciones; divisores con los no-negativo de los coeficientes son llamados efectivo)? Así, sólo tenemos que elegir $n$ d puntos y sumarlas. Somos la elección de los puntos de una curva, que es unidimensional, lo que significa que hay un $n$d-dimensional espacio de efectivo de divisores de grado $n$d.

Así vemos que, en el $n$d-dimensional en el espacio de todas las medidas de divisores de grado $n$d, aquellas que surgen por la intersección de un grado $$ n de la curva son un subespacio de dimensión $n de la d -(d-1)(d-2)/2$.

La cantidad de $(d-1)(d-2)/2$ es precisamente el género. Así que lo que vemos es que el más grande es el género es, más difícil es para un grado $n$d divisor de $f(x,y) = 0$ se obtiene por la intersección con la otra curva.

Por ejemplo, si el grado $d$ es $de$ 1 o $2$, entonces el género se desvanece, y cada grado $n$ d divisor proviene de la intersección con un grado $$ n de la curva.
E. g. en una cónica (es decir, cuando $d = 2$) cualquiera de los dos puntos provienen de la intersección de una línea (la recta que pasa por esos dos puntos), cualquiera de los cuatro puntos vienen de la intersección de con una cónica, y así sucesivamente.

Por otro lado, si el grado $d = 3$, entonces no todas las tripletas de puntos en $f(x,y) = 0$ vienen de la intersección de una línea: de hecho, si ustedes se dan dos puntos, entonces ellos determinan una línea, que a su vez determina el 3er punto de intersección. Del mismo modo (va hasta el caso $n =3$), un conjunto general de los 9 puntos en el cúbicos no viene de la intersección con la otra cúbicos; en cambio, si usted se da de 8 puntos en el cúbicos de la curva, se puede encontrar otra cúbicos de pasar a través de estos 8 puntos, y su 9ª punto de intersección está determinada únicamente por el plazo de 8 puntos. (Desde 9 = 8 + 1, este es una manifestación particular del hecho de que nuestro cúbicos curva y género 1.)

Como se puede ver, he caído en una forma más geométrica manera de pensar (el uso de las nociones de dimensión), pero no creo que este problema se puede evitar por completo: el concepto de género surgió históricamente de esencialmente el tipo de cálculos que he estado haciendo, y en algún momento usted tiene que pensar acerca de los espacios de divisores y sus dimensiones, si se quiere entender. Aún así, espero que esto le da una vía para explicar el concepto que es más algebraicas, y por lo tanto más accesibles a sus colegas.

Uno de los más técnica de la observación: El espacio $V_{n}/f V_{n-d}$ es un ejemplo de Riemann--Roch espacio, y la fórmula para su dimensión ($n + 1 - $ el género) es un caso especial de la de Riemann-Roch fórmula.

[Técnica comentario añadido en respuesta a una pregunta de T. en los comentarios de abajo; ignóralo si es en un nivel demasiado alto:] tenga en cuenta que la discusión anterior funciona incluso si $f$ es permitido ser singular e irreductible, dicen, de modo que no podemos tener los polinomios de $g$, que desaparecen en uno de los componentes de $f(x,y) = 0$ sin fuga en el conjunto de la curva). La razón es que $(d-1)(d-2)/2$ es siempre la aritmética de género de un avión de la curva de grado $d$, o no, si la curva es suave, y es la media aritmética de género que interviene en la definición de la integral--Roch fórmula. (Creo que este es el origen del adjetivo aritmética en la aritmética de género: es esta versión del género singular curvas que aparece cuando usted hace de Riemann--Roch-tipo de cálculos de las dimensiones de los diferentes espacios de divisores.)

Answer 2

Si tu CS amigos son como yo, todavía podría encontrar las respuestas por encima un poco abrumador. Así podría empezar de la siguiente manera:

En primer lugar, mostrar la Wiki del divisor de la página (siempre funciona!). A continuación, explíqueles que por el teorema fundamental de la aritmética, cualquier divisor es sólo un montón de números primos con multiplicidades.

Siguiente, les digo que completamente similar a la de $\mathbb Z$, el TLC con obras de más de $\mathbb C[x]$ (que se puede considerar como una línea). Excepto ahora que cada "divisor" (polinomio) puede ser pensado como un conjunto de puntos (raíces del polinomio) en esa línea, con multiplicidades.

Pero ¿por qué detenerse como una línea recta? Uno puede hacer la misma cosa para un (bastante agradable) de la curva en el plano, y una forma natural de conseguir un montón de puntos es una intersección con otra curva. Por el camino, un montón de puntos "dividir" la curva, más que justifiquen la terminología!

De regreso a $\mathbb C[x]$, se puede señalar que el número total de puntos (con mult.) es el grado de su polinomio $p(x)$, o la dimensión del espacio vectorial de $\mathbb C[x]/(p(x))$.

En este punto, si es que todavía siga usted, Matt E espléndida respuesta (-:

Answer 3

Charles ya ha explicado la noción de género (que viene de la topología--también hay una puramente algebraico de la noción de género como un primer cohomology grupo, pero yo al menos sería menos intuitiva). Así que voy a hablar de divisores.

Primero de todo, la analítica, la noción de un nonsingular curva proyectiva es una compacta superficie de Riemann. "Nonsingular" se traduce como "complejo colector", la "curva" se traduce a "la dimensión 1," y "proyectiva" se traduce como "pacto". Así que voy a hablar de las superficies de Riemann.*

Si usted tiene una superficie de Riemann, es localmente el mismo que el plano complejo. Y en el plano complejo, usted tiene una manera de medir la orden del cero de un holomorphic función. Más generalmente, se puede medir (en $\mathbb{Z}$) el orden de un cero de una función de meromorphic (que es negativo si tiene un polo, cero si es nonvanishing y la analítica, es positivo si tiene un cero). Así que para cualquier función de meromorphic (por supuesto, no restringimos a holomorphic---son todos constantes) en una superficie de Riemann compacta, podemos asignar un conjunto finito de puntos con multiplicidades que consta de los lugares donde el orden es distinto de cero (es decir, los ceros y los polos).

Un divisor es más general. Es sólo formal de la suma de los puntos de las superficies de Riemann con multiplicidades. Un divisor puede venir de una función como la anterior; a continuación, se llama principal. En general, sin embargo, no es así. Se ha dado un divisor de $D$, podemos asociar un espacio vectorial de meromorphic funciones tales que $div(f)+$ D es un divisor con no negativo de los coeficientes. Esto se denota $L(D)$ y su dimensión por $l(D)$.

La de Riemann-Roch teorema es entonces una declaración acerca de las dimensiones de $l(D)$. Una de sus consecuencias, en particular, es que si $|D|$ (la suma de las multiplicidades) es grande, entonces siempre se puede encontrar un (distinto de cero) elemento de $L(D)$. Esto es intuitivamente fácil de entender. Si $D$ es grande, entonces usted es lo que permite mucho margen de maniobra para $f$, la posibilidad de tener polos en muchos lugares.

*Estoy siendo informal aquí, pero en general hay un "GAGA" teoría acerca de estas equivalencias que entra en mucho más detalle, que me saben nada acerca de.

Answer 4

Así, los conceptos de género y divisores provienen de la geometría/topología de la intuición originalmente, por lo que esas explicaciones son generalmente va a ser el más rápido.

Sin embargo, nos puede dar muy áspera versiones sin necesidad de decir "el género es el número de agujeros en la superficie a la que la curva se parece." Usted puede pensar de género como una medida de la complejidad de la función de campo. Naturalmente $k(x)$ iba a ser lo más simple posible, y que pasa a ser el género de cero. Género de una función en los campos de parecerse a $k(x,y)$ donde $y^2$ es un cúbicos en $x$. Ahora, esto no es muy preciso, pero es un bruto cosa.

Como divisores, la topología/geometría de ellos es combinación lineal de los puntos, modulo cero$\infty$ loci de funciones," pero a manejar es puramente algebraica, tendrá que cambiar la palabra "punto" a "discretos valoraciones", por lo que estos se entero de las combinaciones lineales de las diversas formas de describir el orden de un elemento de la función de campo, modulo algunos de los triviales.