Es posible inscribir al menos un tetraedro regular en cada cuerpo convexo?
Respuestas
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El primer teorema de la Sección 4 de este documento, citado por J. M. en los comentarios, da una respuesta afirmativa, citando V. V Makeev, Inscrito simplices de un cuerpo convexo (en ruso), Ucr. Geom. Sb. 35 (1992), 47-49 = J. Math. Sci. 72 (1994) (4), 3189-3190, MR 95d:52006:
Teorema. Deje $K\subset\mathbb{R}^n$ ser un cuerpo convexo. A continuación, $K$ admite una inscrito copia similar de cualquier prescrito simplex.
Michael Hardy
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128804
Supongo que esto es en $\mathbb{R}^3$, y, por supuesto, es necesario para el cuerpo convexo a affinely ocupar la totalidad del $3$-dimensiones del espacio (desde un regular tetrahedon dentro del cuerpo el espacio que todo el espacio). (Es que parte de la definición de "cuerpo"?) Luego hay cuatro affinely puntos independientes $a,b,c,d$ dentro del cuerpo convexo. Considerar el punto de $o=(a+b+c+d)/4$. Deje $p,q,r,s$ ser los vértices de un tetraedro regular con centro en el $o$, y el considerar los puntos $o+\varepsilon(p-o)$, $o+\varepsilon(q-o)$, $o+\varepsilon(r-o)$, $o+\varepsilon(s-o)$, donde $\varepsilon>0$. Estos son los vértices de un tetraedro regular. Para $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño, los pesos $w,x,y,z$ tal que $o+\varepsilon(a-o)=wa+xb+yc+zd$ debe estar cerca de la $1/4$, por lo tanto, todos positivos, y de manera similar para $b, c, d$. De modo que los vértices deben estar en el casco convexo de $\{a,b,c,d\}$, por lo tanto en el original convexo cuerpo.
Sin embargo, me pregunto si me estoy perdiendo algo?
Más tarde edit: Mi sospecha se confirmó a continuación: me perdí una de las definiciones.
Lissome
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31
Aquí es una simple prueba.
Fijar un sistema de coordenadas. Supongamos que el cuerpo se sienta entre el$z=z_0$$z=z_1$.
Para cada una de las $z_0 < z < z_1$, cortar el cuerpo con un plano paralelo a $xy$-plano. Inscribir un triángulo equilátero en esta intersección (para mostrar que es posible, repita esta prueba para las dos dimensiones).
Deje $G_z$ ser la circunferencia circunscrita del triángulo y $l_z$ ser la longitud de la arista del triángulo, permite llamar el triángulo $A_zB_zC_z$.
Dibujar una semi-recta paralela a la $z$ eje, subiendo, y a partir de $G_z$. Deje $L_z$ ser la intersección de esta semiline con el cuerpo (que es la única por la convexidad)$.
Deje $f(z)=\frac{G_zL_z}{l_z}$. Esta relación es continua como una función en $z$.
Es fácil probar que
$$\lim_{z \to z_0^+} f(z)= \infty \,,\, \lim_{z \to z_1^-} f(z)=0 \,.$$
Entonces, por el teorema del valor intermedio, existe alguna $z_3$, de modo que $f(z_3)$ es exactamente la relación de la altura del tetraedro regular/borde de la tetraedro regular.
Ahora es trivial demostrar que $A_{z_3}B_{z_3}C_{z_3}L_{z_3}$ es un tetraedro que satisface los requisitos.
Además, puede cambiar la prueba para demostrar que se puede inscribir un tetraedro, de modo que su "base" es paralela a la de cualquier avión....
