La propiedad de holomorphic funciones que engendra el comportamiento que usted (y yo) así que admiro es analiticidad, es decir, la capacidad de equiparar una función de $f:X\to Y$, a través de algunas abrir subconjunto $U\subset X$, con su serie de Taylor ampliada acerca de algún punto de $x_0\in X$. Como tal, este concepto puede ser ampliado a $\mathbb{R}^N$, $\mathbb{C}^N$ y es una de las propiedades de definición de una analítica del colector. Nos encontramos con colectores a lo largo de la física. Un lugar es en la relatividad general, el calibre de las teorías y de otros campos donde la geometría diferencial es muy utilizado, aunque, estrictamente hablando, mucho de la geometría diferencial que se utiliza en algo como la GR se puede hacer con mucho más débil que los supuestos de $C^\omega$ (palabra rápida en notación: $C^n$ función es una $n$-veces diferenciable en cada uno de sus argumentos, una $C^\infty$ función de uno infinitamente así (a menudo llamado "suave" de la función) y un $C^\omega$ es una analítica de la función, es decir, un $C^\infty$ función cuya serie de Taylor también converge). Por otra parte, en general, colectores, uno no obtiene una noción de un único "continuación analítica" (aunque es un análogo de esto sucede por la Mentira de los grupos, vea abajo); en general los colectores pueden ser empalmados juntos en el único maneras.
Otra herramienta matemática utilizada en la física es la noción de una Mentira grupo. Mentira grupos de describir el continuo simetrías de nuestro Mundo - rotaciones, Lorentz aumenta, las traducciones, el resumen de las evoluciones en el estado de los espacios y de las simetrías en las formulaciones de Lagrange de las interacciones de partículas, ya sea como resultado de una observado experimentalmente continua de la simetría, o uno deliberadamente codificado dentro de una teoría de engendrar, a través del teorema de Noether, una cantidad conservada en línea con la observación experimental de las interacciones de partículas.
Una Mentira grupo es un grupo cuyo grupo de producto puede ser representado por un continuo (mirad: yo lo hice NO decir analítica) de la función de las coordenadas de etiquetado del grupo. Mentira grupos son siempre analítica ($C^\omega$) colectores, incluso si sólo suponemos continua ($C^0$) comportamiento. Ya que tanto admiramos la rigidez (la palabra que usan los matemáticos para describir algo que se tarda mucho menos "información" únicamente para especificar lo que uno intuitivamente creo), que esta última afirmación se hunden en: sólo tenemos que asumir continua el comportamiento y la analiticidad de forma automática de la siguiente manera!. Este sorprendente resultado, la solución para el llamado Quinto Problema de Hilbert, fue el resultado del trabajo de Montgomery, Gleason y Zippin aplicados por Hidehiko Yamabe en 1953. Uno puede ir aún más lejos para compacto de Lie semisimple grupos (que son compactos y pueden ser pensados como productos directos de simple Mentira grupos, es decir, aquellos que no tienen normal Mentira subgrupos): para este tipo de grupos, no tenemos ni para asumir la continuidad, porque no hay otro abstracta de la estructura del grupo incluso posible que una Mentira grupo por lo que incluso la topología surge a partir de la estructura algebraica solo y cada grupo automorphism como un resumen de grupo conserva la Mentira de la estructura de un grupo (van der Waerden, B. L., "Stetigkeitssätze für halbeinfache Liesche Gruppen", Mathematische Zeitschrift 36 pp780 - 786). El análogo de continuación analítica que se sostiene en la Mentira de los grupos es la única definición de la identidad-el componente conectado, dada una especificación del grupo por cualquier barrio de la identidad (o de cualquier otro punto en la identidad componente conectado). De modo que los bits del grupo se unió a la identidad son por lo tanto únicamente se especifica. En realidad es el único especificado dada la conmutación de las relaciones en su Mentira álgebra así como la información discreta en su grupo fundamental. Uno puede ampliar una Mentira grupo nonuniquely, sin embargo, más allá de su identidad componente conectado. Para obtener más información, vea mi respuesta aquí.
En el cierre, volviendo a holomorphic funciones de una variable compleja: en este caso, las nociones de holomorphicity (independencia de $F(z) = \int_a^z f(u){\rm d}u$ de la ruta), analiticidad y la diferenciabilidad todos son lógicamente equivalentes (cualquiera puede ser derivado de cualquier otro), pero esto no es así, por más general de conjuntos. De hecho, para holomorphic funciones complejas, usted incluso no necesita el comportamiento en una teeny tiny disco: esta función es exclusivamente especificados por sus valores en cualquier countably conjunto infinito con un punto límite.
