Qué extraño funciones pasan por el origen?

Question

Una función impar es simétrica en el 1er y 3er cuadrantes. ¿Esto significa que siempre pasa por el origen?

Answer 1

Como André Nicolas mostró, bajo sus condiciones y si $f(0)$ existe $f(0)=0$. Sin embargo, nada en su pregunta implica que $f(0)$ debe existir.

Si dejas $f(x)=\frac1x$ $f$ es simétrica impar función, su gráfica es en los cuadrantes I y III, pero $f(0)$ es indefinido.

Así, se puede decir "$f(0)$ es $0$ o indefinido." O, si se quiere meter a la terminología sobre grafos, "la gráfica de $f$ o pasa por el origen o no se corte la $y$-eje".

Answer 2

Deje $f(x)$ ser impar, y se define a $x=0$. A continuación, $f(-x)=-f(x)$ todos los $x$. En particular, $f(-0)=-f(0)$, lo $f(0)=-f(0)$. De ello se desprende que $f(0)=0$. La "curva" $y=f(x)$ pasa por el origen.