Probar que un grupo con cierta propiedad es abelian

Question

Deje $G$ ser un grupo con la siguiente propiedad: Si $a, b,$ $c$ pertenecen a $G$$ab=ca$,$b=c$. Demostrar que $G$ es abelian.

Creo que tengo la respuesta para el finito $G$ de los casos. Entonces, para un determinado $a \in G$, podemos enumerar todos los elementos $aG$ $Ga$ y el uso de la cancelación de la ley y por encima de la propiedad muestran que $ag=ga$, para arbitrario $g$$a$.

Pero, ¿existe una mejor prueba de que no tiene la consideración especial de finito e infinito.

Answer 1

Ya que es asociativa ha $a(ba) = (ab)a$. Por lo tanto, $ba=ab$ por su propiedad, y listo.

Por lo tanto, es verdad que cualquier estructura asociativa (en particular, no es necesario que los elementos se invertible) con la propiedad conmutativa.

Answer 2

Aquí hay otra manera de hacerlo, lo que demuestra que no se necesita la operación asociativa, mientras que en lugar de requerir la siguiente propiedad (que es también su satisfacción por grupos):

Para todos los $x,y\in G$ no es un porcentaje ($z\in G$tal que $x = zy$ (o que $x = yz$, cualquiera de los dos será suficiente).

Ahora, si la operación no es conmutativa habrá dos elementos $a$ $b$ tal que $ab\neq ba$. Pero hay algo de $c$ tal que $ab = ca$ (por encima de la propiedad con $x = ab$$y = a$). Ya que no podemos tener $c = b$ esto rompe la suposición de que cada vez que teníamos $ab = ca$ tendríamos $b = c$.

Un poco más acerca de la propiedad asumo aquí, a "desmitificar":
Para hacer que la propiedad de un poco más natural, puede ayudar a ver de una manera ligeramente diferente para definir un grupo: partimos de la forma habitual con una operación binaria que es asociativa y tiene una unidad. Pero como una alternativa (a pesar de que es su equivalente) para los inversos, se requiere que para cada elemento $g\in G$ tanto a la izquierda y a la derecha de la multiplicación por $g$ es un bijective mapa (lo dejo como un buen ejercicio para mostrar este hecho es equivalente a la definición habitual).

Ahora, la propiedad supongo que aquí puede ser reformulada como: Para cada una de las $g\in G$, a la derecha de la multiplicación por $g$ es surjective (o muy poco acaba de $Gg = G$ todos los $g\in G$).

Como se señaló en los comentarios, la condición es esencialmente "la mitad" (o tal vez más cerca de una cuarta parte de) la propiedad requerida para tener un quasigroup (si seguimos la propiedad que tanto a la izquierda y a la derecha de la multiplicación por cualquier elemento es bijective y quitar la asociatividad y unidad, llegamos a lo que es un quasigroup es).