Descripción explícita de las valoraciones discretas correspondientes a divisores primos

Question

Estoy leyendo Hartshorne p. 130 sobre los divisores de Weil. Sea $X$ un esquema noetheriano integral separado regular en codimensión 1, $Y$ un divisor primo en $X$, y $\eta \in Y$ su punto genérico. $\mathcal{O}_{\eta,X}$ es entonces un anillo de valoración discreta con campo cociente $K =$ el cuerpo de funciones de $X$.

Considera la valoración discreta correspondiente $v_Y$. Mi pregunta es: ¿es posible describir esta valoración de forma más explícita? ¿O conoces algún ejemplo ilustrativo para esquemas y divisores específicos?

Answer 1

Es muy posible describir esto de forma más explícita. Citaré a Eisenbud de su libro Álgebra Conmutativa con una vista hacia la geometría algebraica para una declaración precisa:

Proposición 11.1. Sea $(R, \mathfrak m)$ un anillo local regular de dimensión 1. Si $\pi$ es un parámetro regular para $R$, entonces cada elemento $t$ del cuerpo cociente $K(R)$ se puede escribir de forma única en la forma $t = u\pi^n$ con $n\in\mathbb Z$ y $u$ una unidad de $R$. En particular, todo ideal de $R$ es de la forma $(\pi^n)$, y R es un dominio de ideales principales.

Piense en esto de la siguiente manera: Su divisor primo $Z$ es el cierre de un punto $P$ de codimensión uno. Si va a un vecindario local de él, hay una única función $\pi$ que define su anulación. Más precisamente, piense en $X=\mathrm{Spec}(A)$. Si toma cualquier función racional $f=a/b$ con $a,b\in A$, entonces las gavillas de $a$ y $b$ en $P$ tienen un orden de anulación bien definido, en el sentido de que $a=u\pi^r$ y $b=v\pi^s$ con $u$ y $v$ unidades en $\mathcal O_{X,P}$. Entonces, $a$ se anula en $P$ al orden $r$ y $b$ al orden $s$. Si $r>s$, entonces $f$ se anulará en $P$ al orden $r-s$. Si $s>r$, entonces $f$ tiene un polo en $P$, de orden $s-r.

Ejemplo tonto: Considere la función racional $$f=\frac{(x-4)(y-2)^3(x+6)}{(x-4)^5(y-2)}$$ en $\mathbb A^2$. Entonces, $f$ tiene orden -4 a lo largo de la línea $x=4$ y tiene orden 1 a lo largo de la línea $y=2$. El ejemplo es tonto porque el mensaje es el siguiente: Por lo general no puedes escribir tu divisor primo como la anulación de una sola función global, y aún si pudieras, tu anillo podría no ser factorial, etc. La idea principal es que todo funciona muy bien cuando vas a un vecindario de tu punto que es lo suficientemente local, y allí es lo mismo que en la secundaria, solo cuenta cuántas veces aparece el cero en el numerador y cuántas veces aparece en el denominador, resta y luego sabrás si es un cero o un polo. E incluso puedes decir cuánto es de cada uno.