Cómo puedo probar que este recursiva secuencia converge?

Question

Vamos $a_0=1$, $a_1=1$ y $a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_n}$. Cómo puedo probar que esta secuencia es convergente? Sé que si es convergente, converge a$\sqrt{2}$, y se puede calcular la tasa de convergencia.

Answer 1

Los gráficos, que ilustran comportamiento asintótico de la secuencia de $\{a_n\}$. Los gráficos sugieren que $$(a_n-\sqrt{2})\sqrt{2}^n=O(1).$$

Añadió:

Answer 2

Multiplicar la ecuación de recurrencia por $a_{n+2}$:

$$a_{n+2}^2 = \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+2}}{a_{n}}$$

Como Jonas Meyer notado ya en los comentarios: $|a_{n+2}-a_{n+1}|\leq \frac23|a_{n+1}-a_{n-1}|$, por lo que los números se hacen más y más cerca el uno del otro. Eso significa, ya que también son limitados (el de abajo), su relación tiende a uno, por lo tanto $a_{n+2}^2$ tienden a $2$.

El acotamiento puede ser demostrado por la demostración por inducción que $a_n \in [1,2]$.