¿Cuál es la motivación para definir tanto homogéneos y no homogéneos cochains?

Question

En mis pocos meses de estudio del grupo de cohomology, he visto dos "estándar" de los complejos que se presentan:

• Dejamos $X_r$ ser el libre $\mathbb{Z}[G]$-módulo de $G^r$ (por lo tanto, tiene como $\mathbb{Z}[G]$de la base de la $r$-tuplas $(g_1,\ldots,g_r)$ de los elementos de $G$). El $G$-estructura del módulo de $X_r$ viene por el hecho de ser un $\mathbb{Z}[G]$-módulo.
  Los mapas de los límites $\partial_r:X_r\to X_{r-1}$

$$\partial_{r}(g_1,\ldots,g_r)=g_1(g_2,\ldots,g_r)+\sum_{j=1}^r(-1)^j(g_1,\ldots,g_jg_{j+1},\ldots,g_r)+(-1)^r(g_1,\ldots,g_r)$$

• Dejamos $E_r$ ser el libre $\mathbb{Z}$-módulo de $G^{r+1}$ (por lo tanto, tiene como $\mathbb{Z}$de la base de la $(r+1)$-tuplas $(g_0,\ldots,g_r)$ de los elementos de $G$). El $G$-estructura del módulo de $E_r$ está definido por $g(g_0,\ldots,g_r)=(gg_0,\ldots,gg_r)$. Los mapas de los límites $d_r:E_r\to E_{r-1}$
  $$d_{r}(g_0,\ldots,g_r)=\sum_{j=0}^{r}(-1)^j(g_0,\ldots,\widehat{g_j},\ldots,g_{r})$$

Luego podemos proceder a calcular el cohomology de $G$ con coeficientes en un $G$-módulo de $A$ usando $$0\to \text{Hom}_G(X_0,A)\to\text{Hom}_G(X_1,A)\to\cdots$$ o mediante el uso de $$0\to \text{Hom}_G(E_0,A)\to\text{Hom}_G(E_1,A)\to\cdots$$ Elementos de $\text{Hom}_G(X_r,A)$ son "no homogéneas cochains" y elementos de $\text{Hom}_G(E_r,A)$ "homogéneo cochains". En cualquier caso, todo lo que importa es lo que pasa con la base de los elementos, por lo que realmente podemos decir que un "no homogéneas cochain" es una función de $f:G^r\to A$, y que un "homogéneo cochain" es una función de $f:G^{r+1}\to A$ que satisface $f(gg_0,\ldots,gg_r)=g\cdot f(g_0,\ldots,g_r)$.

Lang define ellos, tanto en sus Temas en cohomology de grupos, y dice:

... tenemos un $\mathbb{Z}[G]$-isomorfismo $X\xrightarrow{\approx}E$ entre los no-homogéneo y la homogeneidad de las complejas determinada únicamente por el valor en base a elementos que $$(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\mapsto (e,\sigma_1,\sigma_1\sigma_2,\ldots,\sigma_1\sigma_2\ldots \sigma_r)$$

pero Serre define el sólo homogéneas cochains en los Campos de la región y, a continuación, dice que un cochain

... está determinada únicamente por su restricción a los sistemas de la forma $(1,g_1,g_1g_2,\ldots,g_1\cdots g_i)$. Que nos lleva a interpretar los elementos de $\text{Hom}_G(E_r,A)$ "no homogéneas cochains", es decir, como funciones de $f(g_1,\ldots,g_i)$ $i$ argumentos, con valores en $A$, cuya coboundary está dada por ...

Para decirlo sin rodeos, mi pregunta es: ¿por Qué estamos haciendo esto? Puedo pensar en algunas razones posibles:

• Histórico - tal vez una manera en que fue definido por primera vez, ahora el otro es más popular, pero la edad de definición se incluye fuera de la tradición.

• Práctica - tal vez no son importantes los cálculos que son mucho más fáciles de ver o hacer uso de uno u otro enfoque, o que es útil para cambiar entre ellos por alguna razón.

• Gran imagen - tal vez hay un alto nivel de interpretación de uno o de ambos enfoques que se vincula con algún otro campo donde la (co)homología juega un papel importante.

Así que, ¿cuál es la verdadera motivación para la definición de los dos "homogéneo" y "homogénea" cochains?

Answer 1

La no homogénea cochain de la construcción es un estándar libre de resolución de $\mathbb Z$ (el trivial $G$-módulo) como $\mathbb Z[G]$-módulo, y se deja expresamente construido para ser tal. Desde la toma de $G$-invariantes es la misma que la formación de $Hom_G(\mathbb Z, A)$, esto es lo que se necesita para calcular la derivada de functors de esta operación (que es lo que el grupo de cohomology es, a partir de un derivado functor punto de vista).

Por otro lado, homogéneo cochains son lo que se obtiene si calcular el cohomology de los sistemas locales (trenzado coeficientes) en la clasificación de espacio para $G$, que es cómo el grupo de cohomology surgió por primera vez (de forma explícita --- no estaban implícitas ejemplos de grupo cohomology clases mucho antes) en la literatura. La "homogeneidad" refleja el hecho de que estamos calculando con un cierto $G$-equivariant simplicial complejo.

Vagamente, y, aproximadamente, del habla, de la no homogénea de la imagen es más algebraicas, y la homogeneidad de la imagen es más topológico.

Answer 2

Permítanme dar tres ejemplos donde la naturaleza toma su primer complejo:

Primero: Vamos a $G$ ser un grupo, vamos a $A$ $G$- módulo, y deje $A\rtimes G$ ser el producto directo (como un conjunto, esto es $A\times G$, y se convierte en un grupo con la multiplicación tal que $(a,g)\cdot(b,h)=(a+g\cdot b,gh)$ para todos los $a$, $b\in A$ y todos los $g$, $h\in G$) Considerar el mapa de proyección $p:A\rtimes G\to G$, que es un grupo de homomorphism. Una sección de $p$ es un grupo homomorphism $s:G\to A\rtimes G$ tal que $f\circ s=\mathrm{id}_G$. Es inmediato comprobar que una sección determina de forma única y está determinado únicamente por una función de $\sigma:G\to A$ tal que $$g\cdot\sigma(h)+\sigma(g)=\sigma(gh)$$ for all $g$, $h\in G$; indeed, the relation between $s$ and $\sigma $ is that $s(g)=(\sigma(g),g)$ for all $g\in G$. The function $\sigma$ is then a $1$-cocycle defined on your first complex.

Second: Consider an extension

          i      f
0 ---> A ---> E ---> G ---> 1

of a group $G$ by an abelian group $Un$ (whose operation I'll write $+$). Let $\sigma:G\a E$ be a set-theoretic section of $f$. For all $g$, $h\in G$ we have $f(\sigma(g)\sigma(h))=f(\sigma(g))f(\sigma(h))=gh=f(\sigma(gh))$, so that there exists a unique element $\alpha(g,h)\en Un$ such that $$\sigma(g)\sigma(h)=\iota(\alpha(g,h))\sigma(gh).$$

There is an action of $G$ on $Un$ such that $$\iota(g\cdot a)=\sigma(g)\iota(a)\sigma(g)^{-1}$$ for all $g\in G$ and all $\en A$. It is eeasy to check that this is indeed an action of $G$ on $A$ by group automorphisms (here it is where we need that $A$ be abelian) In other words, $A$ is a $G$-module.

Now, whenever $g$, $h$, $k$ are in $G$ we have $$(\sigma(g)\sigma(h))\sigma(k)=\iota(\alpha(g,h))\sigma(gh)\sigma(k)=\iota(\alpha(g,h)+\alpha(gh,k))\sigma(ghk)$$ and $$\sigma(g)(\sigma(h)\sigma(k))=\sigma(g)\iota(\alpha(h,k))\sigma(hk)=\iota(g\cdot\alpha(h,k))\sigma(g)\sigma(hk)=\iota(g\cdot\alpha(h,k)+\alpha(g,hk))\sigma(ghk).$$ Since multiplication in $G$ is associative, the left-hand sides in these last two equations are equal, so so are their right hand sides---and since $\iota$ is injective, we see that $$g\cdot\alpha(h,k)+\alpha(g,hk)=\alpha(g,h)+\alpha(gh,k)$$ or, equivalently, that $$g\cdot\alpha(h,k)-\alpha(gh,k)+\alpha(g,hk)-\alpha(g,h)=0.$$ This means that $\alpha$ determines a $2$-cocyle on your first the complex.

Third: If $G$ is a group, the category of $G$-modules over a field $k$ is a monoidal category $\mathscr M_G$ with respect to the tensor product of representations. If $\alpha:G\times G\times G\k^\times$ is a $3$-cocycle defined on your first complex and with values in the multiplicative group of $k$, then one can "twist" the associativity isomorphisms of $\mathscr M_G$ using $\alpha$ to obtain a different, slightly more fun monoidal category $\mathscr M_G(\alpha)$, y si el trabajo esta en los detalles, verás que una vez más la cocycle condición con respecto a su primer complejo que es, precisamente, el pentágono condición para una estructura monoidal.

Estos son sólo tres ejemplos donde la naturaleza se recoge inhomopgenous cochains.