Creo que puede ser equivocada por el concepto que asociamos $\textbf{observables}$ a auto-adjuntos a los operadores. Que operan en el espacio de Hilbert, pero a ver como entidades que transformar los estados o de prepararlos es un poco complicado. Voy a describir aquí la auto-adjuntos a los operadores y a la preparación de los estados.
1) La verdadera energía (física) de la auto-adjuntos a los operadores para la descripción de las características observables se encuentra en el teorema espectral, y no en su $\psi \mapsto A\psi$ acción. Físicamente, ¿qué significa? Hay un juego llamado espectro de un observable, y es el conjunto de los posibles resultados en su medida para determinados estados. Por ejemplo, un spin observable $S$ en un 1/2-sistema de espín ha espectro de $\sigma(S) = \{-1/2,+1/2\}$, y se descompone como suma de sus proyecciones espectrales, $S = +1/2 P_{+} -1/2 P_{-}$. En general, hay una resolución espectral $E$, es decir, un montón de proyección relacionados con el espectro, de tal manera que el operador puede ser escrito como $A = \int_{\sigma(A)}\lambda dE(\lambda)$.
Y ¿cuáles son las proyecciones espectrales? Esos son de nuevo (el uno mismo-adjoint) los operadores, pero con toda la colección de proyecciones espectrales le dará una medida de probabilidad cuando se combina con un estado. En el sistema de espín ejemplo, si usted toma un estado $\psi$, $\langle\psi, P_+\psi\rangle$ le daría la probabilidad de que la medición de un +1/2 vuelta, y asimismo para -1/2.
Ahora supongamos que usted tenía un sistema de espín 1/2 con estado preparado $\psi$, y de medir el spin, y obtener +1/2. Después de la medición, su estado se derrumba a un $|+1/2\rangle$ estatal.
En una descripción más detallada del formalismo, supongamos que usted ha preparado un estado $\psi$ y que se va a realizar una medición de un observable expresado como $A = \int_{\sigma(A)} \lambda dE(\lambda)$ (donde el $E$ es la resolución espectral de su operador, basta pensar en la 1/2-spin ejemplo intuitivamente). A continuación, supongamos que su medición es en un subconjunto $\Lambda \subset \sigma(A)$ (usted puede pensar en el conjunto de $\{+1/2\} \subset \{-1/2,+1/2\}$. Su estado $\psi$ a continuación, se pliega hasta el siguiente estado de $\phi$:
$\psi \rightarrow \phi = \frac{E(\Lambda)\psi}{\|E(\Lambda)\psi\|}. $
(observe que $\phi$ está normalizado y bien definido, ya que $E(\Lambda)\psi=0$, entonces la probabilidad de un resultado en $\Lambda$ sería igual a cero para empezar).
En resumen, no basta con aplicar un auto-adjunto del operador en un estado, ya que, como hemos visto, no tiene mucho sentido. Este es un punto que la mayoría de introducción QM libros no se estrese tanto como me gustaría. ¿Qué sucede con las mediciones y se derrumba y lo utiliza, como he tratado de señalar, la espectral de las proyecciones más que el propio operador. Así que, como se dijo acerca de su operador Hamiltoniano, no actuar como el jarabe de la máquina, que vamos a tratar de cubrir hasta el siguiente.
2) Ahora, lo que usted describe como "herramientas", en tu ejemplo, el poner el jarabe, no es una medida de por sí, es una preparación de los estados, que agarraba un estado sin el almíbar y poner el jarabe. El modelado de este procedimiento es generalmente ignorado, al menos a mi conocimiento.
Una opción sería simplemente diciendo: "mi estado ahora es syrup", fin de la discusión.
Otra opción es el uso de operadores unitarios ($U$ tal que $UU^* = U^*U = 1$). Aquellos transformar el estado de vectores en el estado de vectores.
Si desea obtener más sofisticados ejemplos, empieza a ser complicado, y voy a callar antes de decir algo malo sobre ella. Pero ten por seguro que esto no es fácil en absoluto, y su pregunta es muy agradable. Esperamos ver algunos otros inspirador aswers.
