Cuando es el número de $N$'s de los factores de $1 + \sqrt{N}$?

Question

(Respuesta: Sólo$N = 4$$N = 16$.)

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La siguiente pregunta se planteó en un curso de pre-servicio y en servicio de maestros de la escuela primaria:

Por lo $N \in \mathbb{N}$ es el caso de que el número de $N$'s de los factores es $1 + \sqrt{N}$?

Las observaciones iniciales eran que esto tiene para $N = 4$$N = 16$, $1 + \sqrt{4} = 3$ $1 + \sqrt{16} = 5$ factores, respectivamente. (Los factores de $4: 1, 2, 4$; los factores de $16: 1, 2, 4, 8, 16$.)

Observando $\sqrt{N} \in \mathbb{N}$ requiere que todos los números primos en la factorización prima de $N$ que se plantea incluso poderes, he intentado un par de casos individuales mediante la técnica estándar para enumerar el número de factores.

Por ejemplo:

Si tenemos un primer cuadrado de $N = p^2$, entonces el número de factores es $2+1 = 3$.

Por otra parte, $1 + \sqrt{N} = 1 + p$. Ahora buscamos una prime $p$ que $1 + p = 3$; por lo $p=2$ es la única solución. En una vena similar, considere la posibilidad de $p^4$ $4+1 = 5$ factores, y la raíz cuadrada $p^2$; por lo que necesitamos un prime $p$ que $1+p^2 = 5$. De nuevo $p = 2$ obras, para recuperar a los casos antes mencionados $4$ $16$ que inicialmente fueron encontrados por explorar.

He comprobado un par de ejemplos más, pero no encontró ningún otro $N$ que trabajó.

Un ejemplo que no funciona: Considerar que el producto de los distintos números primos cuadrado de $N = p^2 q^2$. A continuación, el número de factores es $(2+1)(2+1) = 9$, e $1 + \sqrt{N} = 1 + pq$. Ahora buscamos distintos números primos $p$ $q$ para los que tenemos $1 + pq = 9$, es decir, $pq = 8$; pero no hay números primos existen, ya $8 = 2^3$. Así, no es admisible $N$ con esta estructura multiplicativa.

Se puede trabajar con otros, ejemplos individuales con razonable celeridad: $p^2 q^4$ $15$ factores, e igualando esto a uno más de su raíz cuadrada da $pq^2 = 14$; de nuevo, no distintos de los números primos $p$ $q$ existen para satisfacer esta condición, ya que $14 = 2 \cdot 7$.

Me imagino que hay un plazo razonablemente corto (y totalmente primaria - aunque no en el sentido de "elementary school") planteamiento de este problema en la generalidad. Espero que no existen otras soluciones, además de a$4$$16$, pero no se ve de una manera rápida para argumentar como mucho.

En aras de la claridad, aquí está la pregunta declaró de nuevo:

Por lo $N \in \mathbb{N}$ es el caso de que el número de $N$'s de los factores es $1 + \sqrt{N}$?

Answer 1

Si $N = \prod_j p_j^{d_j}$ es la factorización prima de $N$, su número de divisores $\tau(N)$$\prod_j (1 + d_j)$. Desea $\sqrt{N}$ a ser un número entero, por lo que todos los $d_j \ge 2$ son incluso. El valor mínimo de $p^{d/2}/(1+d)$ para los números primos $p$, e incluso enteros positivos $d$ $2/3$ a $p = 2$, $d = 2$. El único que en otros casos $p^{d/2}/(1+d) \le 3/2$ $p=2, d=4$ o $6$ $p=3, d=2$ donde $p^{d/2}/(1+d) = 4/5, 8/7, 1$ respectivamente. Así que para tener una oportunidad para $\sqrt{N}$ a ser menor que el número de divisores, el exponente de $2$ debe ser $2$ o $4$, no puede ser un $3^2$, pero hay otros números primos y no los poderes superiores. Es decir, la única plazas donde $\tau(N) > \sqrt{N}$$4, 16, 36, 144$. Estos han $\tau(N) - \sqrt{N} = 1, 1, 3, 3$ respectivamente.

Answer 2

Usted debe saber, por ejemplo, que el número de divisores $d(N)$ satisface $$ d(N) \leq 24 \; \sqrt[3] {\frac{N}{315}}. $$ Equality holds only at $N=2520.$

Este es el tiempo más pequeño que el de la raíz cuadrada de $N,$ y usted puede hacer explícitos los límites para su búsqueda. Poner en la calculadora programable, esta obligado es igual a $\sqrt N$ sobre $N=1926$ y menor después.

Answer 3

Sólo para reformular Robert Israel's respuesta en más sabrosa lengua para el nivel en el que actualmente estoy enseñando:

Hay dos funciones a pensar aquí.

La primera es el divisor de la función, $N \rightarrow d(N) := \#\{N$'s distintos divisores$\}$.

La segunda es la función de $N \rightarrow 1 + \sqrt{N}$.

El problema con la búsqueda (necesariamente cuadrada) enteros $N$ que $d(N)$ $1+\sqrt{N}$ son iguales, es que el último crece muy rápidamente; de hecho, tenemos la igualdad iff $N \in \{2^2, 2^4\}$.

Por ejemplo, considere el $5^2$: a Continuación,$d(5^2) = 2+1 = 3$, e $1+\sqrt{5^2} = 6$ donde $6 > 3$.

Del mismo modo, considere la posibilidad de $7^4$: a Continuación,$d(7^4) = 4+1 = 5$, e $1 + \sqrt{7^4} = 50$ donde $50 > 5$.

Así que si tenemos en cuenta que un número como $N = 5^2 \cdot 7^4$,$d(N) = 3 \cdot 5 = 15$, pero $1 + \sqrt{N} = 246$.

De esta manera, uno viene a ver que nos tienen casi siempre $d(N) < 1 + \sqrt{N}$ por un poco justo.

Las tres excepciones a esta (señalando de nuevo que queremos $N$ a ser un cuadrado perfecto, por lo que su raíz cuadrada es un número entero)$2^2, 2^4,$$3^2$. Incluso con $N = 3^4$ nos encontramos con $d(N) = 5 < 10 = 1 + \sqrt{N}$.

Por lo tanto, examinamos $N$ igual a cada una de las $2^2, 2^4, 3^2, 2^2 \cdot 3^2,$$2^4 \cdot 3^2$.

(RI elimina $3^2$ usando una separada de la paridad del argumento.)

Los casos de $2^2$ $2^4$ satisfacer la deseada igualdad; los otros no.

En particular:

$d(2^2) = 3 = 1 + \sqrt{2^2}$ $d(2^4) = 5 = 1 + \sqrt{2^4}$.

Sin embargo:

$d(3^2) = 3 < 4 = 1 + \sqrt{3^2}$;

$d(2^2 \cdot 3^2) = 9 > 7 = 1 + \sqrt{2^2 \cdot 3^2}$; y

$d(2^4 \cdot 3^2) = 15 > 13 = 1 + \sqrt{2^4 \cdot 3^2}$.

(Para exhaustividad, podríamos señalar que $d(1) = 1 < 2 = 1 + \sqrt{1}$.)

A partir de aquí: Cualquier otra opción de $N$ rendimiento $d(N) < 1 + \sqrt{N}$. QED