Cuando se hace el producto de la topología de tener una contables de la base?

Question

Podría cualquiera me diga cómo probar esto?

El producto de la topología tiene una contables base si y sólo si el topología de cada espacio de coordenadas tiene una contables de base y de todos los pero una contables número de espacios de coordenadas son indiscreta

Answer 1

La más difícil es la dirección para mostrar que el espacio del producto, tiene una contables de la base, a continuación, cada uno de los factores que también tiene una contables de la base, y todos, pero countably muchos de ellos tienen la topología indiscreta.

Deje $X=\prod_{i\in I}X_i$, y deje $\mathscr{B}$ ser una contables de base para $X$. Fix $x=\langle x_i:i\in I\rangle\in X$. Para $i\in I$ vamos $$Y_i=\Big\{\langle y_j:j\in I\rangle\in X:y_j=x_j\text{ for all }j\in I\setminus\{i\}\Big\}\;;$$ if $\pi_i:X\a X_i$ is the projection map, it's a standard elementary result that $\pi_i\upharpoonright Y_i$ is a homeomorphism of $Y_i$ onto $X_i$. In particular, for each $B\in\mathscr{B}$ and $i\I$, $\pi_i[B\cap Y_i]$ is open in $X_i$. For $i\I$ let $\mathscr{B}_i=\{\pi_i[B\cap Y_i]:B\in\mathscr{B}\}$; clearly each $\mathscr{B}_i$ is countable, and I claim that $\mathscr{B}_i$ is a base for $X_i$.

Supongamos que $p\in U\subseteq X_i$ donde $U$ está abierto. Deje $y$ ser el único punto de $Y_i$ tal que $\pi_i(y)=p$. A continuación, $\pi_i^{-1}[U]$ es una nbhd de $y$$X$, por lo que hay algunos $B\in\mathscr{B}$ tal que $y\in B\subseteq \pi_i^{-1}[U]$. De ello se desprende que $p\in\pi_i[B\cap Y_i]\subseteq U$ donde $\pi_i[B\cap Y_i]\in\mathscr{B}_i$; con esto se establece la demanda.

Ahora vamos a $I_0$ el conjunto de $i\in I$ de manera tal que la topología en $X_i$ no es indiscreta, y supongamos que $I_0$ es incontable. Para cada una de las $i\in I_0$ deje $U_i$ ser un no-vacío abierto apropiado subconjunto de $X_i$. Sin pérdida de generalidad supongamos que el punto de $x$ fijado al principio de la prueba es tal que $x_i\in U_i$ todos los $i\in I_0$. A continuación, $x\in\pi_i^{-1}[U_i]$ por cada $i\in I_0$, por lo que para cada una de las $i\in I_0$ no es un porcentaje ($B(i)\in\mathscr{B}$tal que $x\in B(i)\subseteq\pi_i^{-1}[U_i]$. $\mathscr{B}$ es contable, y $I_0$ es incontable, por lo que hay un $B\in\mathscr{B}$ y un incontable $I_1\subseteq I_0$ tal que $B(i)=B$ por cada $i\in I_1$. Claramente $x\in B\subseteq\prod_{i\in I_1}U_i\times\prod_{i\in I\setminus I_1}X_i$.

Por otro lado, $B$ es abierto en la topología producto en $X$, de modo que hay un número finito de $F\subseteq I$ y abrir conjuntos de $V_i$ $X_i$ $i\in F$ tal que

$$x\in\prod_{i\in F}V_i\times\prod_{i\in I\setminus F}X_i\subseteq B\subseteq\prod_{i\in I_1}U_i\times\prod_{i\in I\setminus I_1}X_i\;.$$

Elija cualquiera de los $i\in I_1\setminus F$; a continuación,$X_i\subseteq\pi_i[B]\subseteq U_i\subsetneqq X_i$, lo cual es absurdo. Por lo tanto $I_0$ debe ser contable.

Answer 2

$(\Rightarrow)$: Supongamos $\{X_i\}_{i\in I}$ es una colección de espacios con todos, pero countably muchos indiscreta, vamos a $\{B_{ij}\}_{j\in \mathbb N}$ ser una contables de base para cada una de las $X_i$, y deje $X$ ser su producto. Los conjuntos de la forma $\prod_{i\in I} B_{ij_i}$ con todos, pero de un número finito de $B_{ij_i}$ igual a todo el conjunto $X_i$ forma una base para $X$. Tenga en cuenta que cuando se construye $\prod_{i\in I} B_{ij_i}$ sólo hay countably muchos $i$ que $B_{ij_i}$ podría ser, no el conjunto. Por lo tanto, hay sólo countably muchas maneras de elegir un número finito de $i$ hacer $B_{ij_i}$ no de todo el conjunto (desde $B_{ij_i}=X_i$ $X_i$ indiscreta). Además, para cualquier fijo elección de un número finito de valores de $i$ hacer $B_{ij_i}$ no de todo el conjunto, sólo hay countably muchas maneras de elegir el $B_{ij_i}$. Así pues, tenemos una contables.

$(\Leftarrow)$: Supongamos que algunos de los $\{X_i\}_{i\in I}$ es una colección de espacios con producto $X$ que tiene una contables base $\{B_j\}_{j\in\mathbb N}$. Deje $\pi_i:X\to X_i$ denotar la proyección en el $i^{th}$ componente. A continuación, cada una de las $X_i$ tiene una base contable $\{X_i\cap \pi_i[B_j]\}_{j\in\mathbb N}$. Además, si una cantidad no numerable de las $X_i$ son indiscreta, a continuación, una cantidad no numerable de conjuntos de $\{X_i\cap \pi_i[B_j]\}_{j\in \mathbb N}$ contienen conjuntos distintos de $X_i$, sin embargo, fija $j$ esto sólo puede ser cierto para un número finito de conjuntos (para cualquier conjunto abierto $U$ en $X$, $\pi_i(U)=X_i$ para todos, pero un número finito de $i$) y sólo hay countably muchas opciones para $j$, así pues, tenemos una contradicción.