Dada una función holomorfa acotada $\phi (z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ en el disco unitario abierto, ¿es cierto que $\sum_{n=0}^\infty |a_n|<\infty$? Estaba pensando que esta pregunta podría ser respondida usando alguna teoría sobre continuación analítica, pero desafortunadamente no conozco muy bien esta teoría.
Cualquier pista o contraejemplo serían muy apreciados. Gracias.
No, not really. If $\phi(z)= \sum a_n z^n$ tiene $\sum_n |a_n|< \infty$ entonces $$z \mapsto \sum_n a_n z^n$$ define una extensión continua de $\phi$ al disco cerrado $\{ |z|\le 1\}.
Considera ahora $\phi(z)$ un producto de Blaschke. $\phi(z)$ será una función en el disco unitario abierto con ceros exactamente en el conjunto $\{\lambda_n\}$. Además, $|\phi(z)| < 1$ para todo $z$ en el disco unitario abierto. Ahora elige la secuencia $\lambda_n$ de manera que cualquier punto en el círculo $\{ |z|=1\}$ sea un punto límite del mismo. Para hacerlo, simplemente asegúrate de que los argumentos de $\lambda_n$ estén distribuidos densamente en $\mathbb{R}/2 \pi \mathbb{Z}$. Afirmación: $\phi(z)$ no se extiende continuamente al disco cerrado. De hecho, si lo hiciera entonces $\phi(z) = 0$ en el círculo, y por el principio del máximo $\phi(z) \equiv 0$, lo cual no es el caso.
Se sigue que para la serie de esta $\phi(z) = \sum _n a_n z^n$ tenemos $\sum_n |a_n| = \infty$.
Aún así, la secuencia $(a_n)$ en sí misma estará acotada si $\phi$ está acotada en el disco. (esto no siempre es cierto para funciones en el disco unitario abierto, por ejemplo $ \frac{1}{(1-z)^2}= \sum_{n\ge 1} n z^{n-1} )$ Ver: Espacios de Hardy.
@user122916: No estoy satisfecho con mi respuesta. Hasta ahora no es un ejemplo concreto de una serie de potencias $\sum_n a_n z^n$ tal que $\sum_n |a_n| = \infty$ mientras que $|\sum_n a_n z^n| \le 1$ para todo $|z|<1$. Todavía estoy pensando al respecto, gran pregunta.
Estaba buscando más la existencia de un contraejemplo en lugar de uno concreto. Sin embargo, sería bueno tener una fórmula concreta para tal $a_n$. Gracias.
@user122916: Reformulé tu pregunta y la volví a publicar, mira math.stackexchange.com/questions/1291914/…. De las respuestas obtenidas parece deducirse que esta secuencia es un ejemplo concreto: $n^ {-\frac{3}{4}} \cos ( \sqrt{8 n} + \frac{\pi}{4})$, aunque todavía estoy perplejo.
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¿Podemos primero demostrar esto para subconjuntos compactos del disco unitario? Porque en subconjuntos compactos, la serie de potencias convergerá uniformemente. Entonces podemos intentar algo así $\int \sum z^n=\sum \int z^n= z^{n+1}/{n+1}$ y usar el hecho de que $\sum 1/n$ diverge.
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Es claro que si $f(z)=\sum a_\nu z^\nu$ converge absolutamente en $z=1$ entonces converge absolutamente en cada punto del disco unitario por comparación. Puedes demostrar que si $f$ es holomorfa en $z=1$ (es decir, si podemos escribirla como una serie con radio de convergencia positivo), entonces es holomorfa en cada punto de la frontera del disco.