¿Una función holomorfa acotada en el disco unitario tiene coeficientes de Taylor sumables?

Question

Dada una función holomorfa acotada $\phi (z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ en el disco unitario abierto, ¿es cierto que $\sum_{n=0}^\infty |a_n|<\infty$? Estaba pensando que esta pregunta podría ser respondida usando alguna teoría sobre continuación analítica, pero desafortunadamente no conozco muy bien esta teoría.

Cualquier pista o contraejemplo serían muy apreciados. Gracias.

Answer 1

No, not really. If $\phi(z)= \sum a_n z^n$ tiene $\sum_n |a_n|< \infty$ entonces $$z \mapsto \sum_n a_n z^n$$ define una extensión continua de $\phi$ al disco cerrado $\{ |z|\le 1\}.

Considera ahora $\phi(z)$ un producto de Blaschke. $\phi(z)$ será una función en el disco unitario abierto con ceros exactamente en el conjunto $\{\lambda_n\}$. Además, $|\phi(z)| < 1$ para todo $z$ en el disco unitario abierto. Ahora elige la secuencia $\lambda_n$ de manera que cualquier punto en el círculo $\{ |z|=1\}$ sea un punto límite del mismo. Para hacerlo, simplemente asegúrate de que los argumentos de $\lambda_n$ estén distribuidos densamente en $\mathbb{R}/2 \pi \mathbb{Z}$. Afirmación: $\phi(z)$ no se extiende continuamente al disco cerrado. De hecho, si lo hiciera entonces $\phi(z) = 0$ en el círculo, y por el principio del máximo $\phi(z) \equiv 0$, lo cual no es el caso.

Se sigue que para la serie de esta $\phi(z) = \sum _n a_n z^n$ tenemos $\sum_n |a_n| = \infty$.

Aún así, la secuencia $(a_n)$ en sí misma estará acotada si $\phi$ está acotada en el disco. (esto no siempre es cierto para funciones en el disco unitario abierto, por ejemplo $\frac{1}{(1-z)^2}= \sum_{n\ge 1} n z^{n-1} )$ Ver: Espacios de Hardy.