Cuando la función de correlación ha rama de corte en el impulso de espacio,
cómo encontrar la correlación en el espacio de coordenadas?
Por ejemplo
$$ \tilde {G}(\omega) = \frac{2i}{\omega+(\omega^2-\nu^2)^{1/2}}$$
Cómo obtener el $G(t)$ utilizando la transformación de Fourier ?
t>0 AQUÍ.
Este problema es de la matriz de modelo de Iizuka y Polchinski. Se discute el propagador en el modelo y encontrar que el propagador $G(t)$ tiene el poder de la ley de decaimiento de comportamiento, si hay rama cortada en $\tilde{G}(\omega)$. Si hay un poste en la mitad inferior de avión para $\tilde{G}(\omega)$, hay un decaimiento exponencial en $G(t)$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cutology
Los libros de matemáticas no son buenas para esto, usted necesita el asiento-de-los-pantalones de la intuición. El rápido y sucio físico, la respuesta es que una rama de corte es pensado como un continuum de polos densamente repartidas en una línea. Reproducir cortes de ramas mediante la integración de los polos, repartidas en un intervalo de, por ejemplo, con un constante "residuo de densidad" (este no es el término estándar para ella, ver a continuación)
$$ \log({x-a\over x-b}) = \int_a^b {1\over x-u} du$$
Y esto es un continuo de la densidad de polos con la unidad de residuos entre a y b, tal como se puede ver en el lado derecho, y una función con un punto de corte entre a y b en el lado izquierdo. Si usted hace el residuo de densidad entre a y b, una función $\rho(u)$
$$ f(x) = \int_a^b {\rho(u)\over x-u} du $$
usted obtener diferentes funciones, pero siempre con un punto de corte en el interior de [a,b] donde a $\rho(u)$ es distinto de cero. El residuo de la densidad no está generalmente se llama el residuo de la densidad--- se llama el "corte de la discontinuidad", porque si se considera el valor de la función f definida por la integral, justo por encima y justo debajo del eje real en algún lugar en el intervalo [a,b], y tomar la diferencia entre los dos valores, se obtiene 2\pi i veces $\rho$ como la diferencia. Esto es porque usted puede deformar las dos integrales en sentido contrario en un pequeño círculo, o, si se quiere, porque de la de Cauchy-distribución de la representación de la función delta como:
$$\delta(x) = {1\over 2\pi i} ({1\over x-i\epsilon} - {1\over x+i\epsilon})$$
Que se puede trabajar de manera explícita.
Para mostrarle cómo funciona en detalle, decir que queremos reproducir la raíz cuadrada de la función de la rama de corte, a lo largo del eje real negativo, usted busca el salto de discontinuidad en $\sqrt{x}$ a lo largo de la negativa del eje. Va de$i\sqrt{|x|}$$-i\sqrt{x}$, el salto de discontinuidad es la raíz cuadrada de la distancia desde el origen. Así que usted escribe
$$ f(x) = {1\over \pi} \int_{-\infty}^0 {\sqrt{|u|}\over x-u} du $$
Y esto debe reproducir la raíz cuadrada de la función. Excepto esto es una tontería, ya que la integral es divergente! Esto todavía es moralmente cierto, sin embargo, de la siguiente manipulación: el cambio u a-u, y dividir la integral de la siguiente manera:
$$ {2\over \pi} \int_0^\infty {1\over2\sqrt{u}} {u\over x+u} du $$
Luego se divide ${u\over x+u}$ a $1 - {x\over x+u}$. Deseche el 1, porque esta es una (infinito) x independiente constante, y el cambio de variables a $\alpha=\sqrt{u}$, y se obtiene
$$ {2\over \pi} \int_0^\infty {x\over x+\alpha^2} d\alpha $$
Ahora usted puede ver que esto se evalúa a $\sqrt{x}$ por reescalado por x. Así funciona, pero usted tiene que mirar hacia fuera para las divergencias.
Polology
Cuando hay un único polo en el eje imaginario negativo en la posición $-ai$, cuando se integran con los $e^{-i\omega t}$, para t positiva, la integración de contorno puede moverse hacia abajo a la $\mathrm{Im}(\omega)=-ia$ línea, simplemente deslizando hacia abajo (no hay singularidades en el camino) y la integral a lo largo de la nueva contorno es una suma de las contribuciones de cada uno de ellos con un decaimiento exponencial $e^{-at}$. Así que la dominante de decaimiento exponencial en el infinito es el polo más cercano al eje real.
Si el polo es la única singularidad y con la debida cosas en negativo imaginario infinito, usted puede hacer la integral de forma explícita, pero el contorno de movimiento es simple y no depende de nada, y muestra el decaimiento exponencial de inmediato. Generalmente, usted tiene muchas singularidades, y desea que sólo el líder de comportamiento en el infinito.
Si hay un poste muy cerca del eje real con la posición $a-i\epsilon$, la transformada de fourier no es exponencialmente en descomposición (o más bien se trata de descomposición, con una tasa de $\epsilon$), pero la oscilación. No puede ser de cualquiera de las singularidades en el sentido positivo del imaginario $\omega$ halfplane, ya que esto llevaría a un golpe en el futuro. Esto significa que usted debe imaginar todas las singularidades cambiado infinitamente a la negativa imaginario de la mitad de plano, al igual que este.
Cuando hay un continuo de la densidad de polos, se obtiene un continuo de la densidad de las tasas de descomposición, y si se acumulan arbitrariamente cerca del eje real, se obtiene una continua superposición de diferentes tasas de desintegración que puede reproduce una ley de potencia, si el polo densidad cerca del eje real es la alimentación adecuada.
Su cosa
En tu caso, usted tiene un corte de partida en $\omega=\nu$ sobre el eje real, y el corte se ejecuta fuera de la infinidad de alguna manera a lo largo de la negativa del eje imaginario. La discontinuidad en la parte imaginaria a lo largo del corte se puede encontrar por escrito la cosa como
$$ {\omega - \sqrt{\omega^2 - \nu^2}}\over \nu^2 $$
y usted puede ver que hay una raíz cuadrada de poste de la densidad de cerca de $\omega=\nu$. Cada polo da un decy de $e^{-at}$ en tiempo real, así que superponer los decae:
$$ \int_0^\infty \sqrt{a} e^{-at} da \approx {1\over t^{3\over 2}} $$
Todo esto es en la parte superior de un general de la oscilación de $e^{-i\nu t}$ que se obtiene del hecho de que esto está sucediendo cerca de la $\omega=\nu$. Este tipo de material es muy útil, y es secreto lore por alguna razón.
