Propiedad universal de la terminación de anillos / módulos

Question

Si $A$ es un anillo local noetheriano y $M$ un $A$ -entonces definimos la terminación $\hat{M}$ de $M$ con respecto a la estable $\mathfrak{m}$ -filtración $\{M_n\}$ por $$\hat{M}=\left\{(a_1,a_2,...)\in\prod_{i=1}^\infty M/M_i:a_j\equiv a_i\bmod{M_i}\,\,\forall j>i\right\}.$$ Véase también mi pregunta anterior .

Ahora bien, en el libro que utilizo (A SINGULAR Introduction to Commutative Algebra de Greuel/Pfister), no se menciona ninguna propiedad universal de esta terminación, pero una vez utiliza algo que se parece a una: Tenemos un mapa de $K[x_1,...,x_n]_{\langle x_1,...,x_n\rangle}$ a algún anillo completo, de ahí que obtengamos un mapa de $K[[x_1,...,x_n]]$ a ella. ¿Es esa la "propiedad universal de la terminación de un anillo / módulo", y si es así, es de alguna manera obvia a partir de mi definición de la terminación, por lo que podríamos utilizar directamente?

¿Cómo demostrar esta propiedad con la definición anterior? (Si realmente funciona para módulos; no lo sé, al menos para anillos supongo que debería ser algo como: Si $A\to B$ es un homomorfismo de anillo y $B$ es completo, entonces existe un único mapa $\hat{A}\to B$ ampliándola). Bueno, creo que ahora tengo una pista, y tal vez podrías decirme si esta es la forma correcta (todavía me gustaría saber si esta es "la" propiedad universal de la finalización):

Si $A\to B$ es un homomorfismo de anillo ( $A$ y $B$ anillos locales noetherianos; ¿este homomorfismo tiene que ser también local?), y $B$ está completo, entonces obtengo e induzco el mapa $\hat{A}\to\hat{B}=B$ como quería.

Answer 1

Al considerar módulos dotados de estabilidad $m$ -filtraciones, éstas son simplemente $A$ -módulos con $m$ -(definida por la filtración $(m^nM)_n$ ).

La finalización $\hat{M}$ satisface la siguiente propiedad universal en la categoría de $m$ -adic $A$ -módulos:

1. Existe un $A$ -mapa lineal $i: M\to \hat{M}$ ,

2. Para cualquier $A$ -módulo $N$ para cualquier $A$ -mapa lineal $f : M\to N$ existe una factorización única de $f$ como $i : M\to \hat{M}$ y $\hat{f} : \hat{M} \to N$ .

Prueba: (1) el mapa $i$ viene dado por $i(x)=(x \mod mM, x \mod m^2M, ...)$ . (2) El mapa $f$ induce $M/m^nM \to N/m^nN$ . Pasando al límite obtenemos un mapa $\hat{f} : \hat{M}\to \hat{N}=N$ . En $i(M)$ es denso en $\hat{M}$ para cualquier factorización como en (2), $\hat{f}$ está determinada de manera única por $f$ .

Para homomorfismos de anillos locales $\rho : A\to B$ hay que exigir que los mapas sean locales para asegurar la continuidad, entonces $\rho$ induce $$ A/m_A^n \to B/m_B^n $$ para todos $n\ge 1$ . Pasando de nuevo al límite obtenemos un homomorfismo de anillo $\hat{A}\to \hat{B}$ que viene determinada de forma unívoca por $\rho$ porque $A$ es denso en $\hat{A}$ .