Cómo encontrar $\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$?

Question

Cómo evaluar el siguiente límite? $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$$

Para este problema que tengo dos métodos. Pero me gustaría saber si hay mejores métodos.

Mi solución 1:

El uso de Stolz-Cesaro Teorema, tenemos $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n!}{n!-(n-1)!}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n-1}=1$$

Mi solución 2:

$$1=\dfrac{n!}{n!}<\dfrac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}<\dfrac{(n-2)(n-2)!+(n-1)!+n!}{n!}=\dfrac{n-2}{n(n-1)}+\dfrac{1}{n}+1$$

Answer 1

Tal vez usted puede ser como el siguiente argumento:

Note que $\frac{\sum_{k=1}^{n} i!}{n!} = 1 + \frac{1}{n}\frac{\sum_{k=1}^{n-1} i!}{(n-1)!}$; a partir de esto, se obtiene la recurrencia

$$\frac{\sum_{k=1}^{2} i!}{2!} = 1 + \frac{1}{2},$$ $$\frac{\sum_{k=1}^{3} i!}{3!} = 1 + \frac{1}{3}(1 + \frac{1}{2}),$$

y, en general,

$$\frac{\sum_{k=1}^{n} i!}{n!} = 1 + \frac{1}{n}(1 + \frac{1}{n-1}(...(1 + \frac{1}{3}(1+ \frac{1}{2}))...)) \\< 1 + \frac{1}{n}(1 + \frac{1}{2}(...(1 + \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}))...)) \\ < 1 + \frac{1}{n}(2)$$

y por lo que su secuencia es acotada arriba por una convergencia de $1$. Ya que también es extremadamente acotada abajo por el constante secuencia de $1$, su secuencia por lo tanto converge a $1$.

Answer 2

Si nos vamos a $$a_n=\frac1{n!}\sum_{k=1}^nk!$$ entonces, evidentemente, $a_n\ge1$. Además, tenemos que $$a_{n+1}=1+\frac{a_n}{n+1}$$ Supongamos que para algún $n\ge1$, $a_n\le2$, entonces $$\begin{align} a_{n+1} Y=1+\frac{a_n}{n+1}\\ &\le1+\frac{2}{n+1}\\ &\le2 \end{align}$$ Desde $a_1=1$, tenemos que $a_n\le2$ para todo $n\ge1$. Ahora,finalmente, $$\begin{align} 1\le a_{n+1}=1+\frac{a_n}{n+1}\le1+\frac2{n+1} \end{align}$$ Por el Teorema del sándwich, obtenemos que $$\lim_{n\to\infty}a_n=1$$

Answer 3

Podemos escribir esto como una especie de 'añadido fracción', o fracción de continuo numerador. Dichas fracciones se utilizan, por ejemplo, por Fibonacci en Liber Aceri

Mus $1 \frac {+} \frac{b+}B \dots = 1 \frac{a+\frac{b+ \dots}B}$, Por ejemplo, se podría considerar decimales, como una serie de añadidos décimas de $1m \frac{dm+}{10} \frac{cm+}{10} \frac{mm}{10}$ $+$ sirve para mostrar que es el numerador continuó.

Se da $A = 1 \frac {1+}n \frac {1+}{n-1} \frac {1+}{n-2} \dots$. Esto es idéntico a la escritura en una base, donde el tamaño de la base, se hace más pequeña a medida que uno va a lo largo. Así, por ejemplo, cuando $x=10$ da $1 \frac {1+}{10} \frac {1+}9 \frac {1+}8$

Como n va grande, uno ve que el factor limitante (que es menos que la suma), es de $1 \frac {1+}n \frac {1+}n \frac {1+}n \dots$, que es de $A_2 = \frac n{n-1} = 1 \frac 1{n-1}$. De hecho, las dos primeras fracciones del número de agregar a esto.

La suma de las tres primeras fracciones, luego se va de $A_3 = 1 \frac {1+}{n} \frac{1}{n-2}$. Este es de $1 \frac{n-1}{n^2-2n}$.

El valor entre $A-A_3$ es mucho menor que entre $A-A_2$, en la medida en que se pueden admitirse a suponer un límite superior de $1 \frac{n-1}{n^2-2n-1}$ ser mayor que $A$ por el mismo orden que $A_2$ es menor, y que esta diferencia es de casi $n (A-A_3)$.

El límite cuando n va grande es de 1$$, ya que la parte fraccionaria se aproxima a cero, pero para aquellos de nosotros que de la pista de la desaparición de la dirección, es en el orden de $1 \frac 1n$.

Answer 4

Sabemos

$$\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{(n-1)!}{n(n-1)!}=\frac{1}{n}$$ y este límite es cero

pero

$$\displaystyle\lim_{k\to \infty} \frac{\sum_{i=1}^k i!}{k!} =$$

$$\displaystyle \lim_{k\to \infty} \sum_{i=1}^k \frac{i!}{k!} =$$

$$\displaystyle \sum_{i=1}^k \lim_{k\to \infty} \frac{i!}{k!} = 1$$

Answer 5

Vamos

$$b_n={1!+2!+\cdots(n-1)!\sobre n!}$$

Esto es suficiente para mostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=0$.

Tenga en cuenta que $0\lt b_n\lt1$ para todo $n\gt1$. (Hay menos de $n$ los términos en el numerador, ninguno mayor de $(n-1)!$.) Esto implica

$$0\lt b_n={1\over n}\left({1!+\cdots+(n-2)!+(n-1)!\más de(n-1)! }\right)={1\over n} b_{n-1}+1)\lt{2\sobre n}$$

así que el límite $0$ de la siguiente manera.