El Teorema de Helly afirma lo siguiente. Supongamos que $X_1,X_2,...,X_N$ son conjuntos convexos en $\mathbb{R}^d$ tal que para cualquier conjunto de índices $I$ con $|I| \leq h(d) := d+1$ tenemos $\bigcap_{i \in I} X_i \neq \varnothing$ . Entonces $\bigcap_{i=1}^N X_i \neq \varnothing$ .
Si en cambio $X_1,X_2,...,X_N$ son conjuntos biconvexos en $\mathbb{R}^d$ ¿Cuál es el "número de Helly"? $h(d)$ (o un límite superior del mismo)?
Posible pista. Deja $\mathcal{X} = \{X_1, ..., X_N\}$ tal que la intersección de cualquiera de sus subfamilias de tamaño como máximo $k$ puede expresarse como una unión disjunta de $k$ conjuntos convexos cerrados. Entonces $h \leq k(d + 1)$ . ¿Qué es el $k$ para conjuntos biconvexos?
Sin embargo, descubrí que la intersección de $2$ los conjuntos biconvexos pueden ser la unión de un número ilimitado de conjuntos convexos. Así que probablemente esta sugerencia no sea útil.
Comentario. Un conjunto $S \subseteq \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^m = \mathbb{R}^d$ es biconvexo si para todo $y \in \mathbb{R}^m$ el conjunto $S_y := \{ x \in \mathbb{R}^n \mid (x,y) \in S \}$ es convexa, y para todo $x \in \mathbb{R}^n$ el conjunto $S_x := \{ y \in \mathbb{R}^m \mid (x,y) \in S \}$ también es convexa.
